《偏微分方程》第5章位势方程 把(5111)式与(5.21)式相加,并记G(x,y)=k(x-y)+h(x,y), 且要求在O9上G=0,于是得到 aG (r)adsx (52.2) 若△≠0,(5.2.1)式与(5.1.9)式相加得 aG (y)=/ u(a)adsx+ G(x,y)△a(x)dx.(52.3) 032 函数G=G(x,y)叫做区域Ω(关于 Laplace算子 Dirichlet问 题)的(reen函数.由上文知,求解区域Ω的 Green函数必须 解一个特殊的 Dirichlet问题 △x=0,x∈J 5.2 =-k
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏微分方程》第5章位势方程 对一般区域而言,要证明这种特殊的 Dirichlet问题解的存在 性和证明在此域上一般的 Dirichlet问题解的存在性同样困难 但是, Green函数法还是有它特殊的意义,这主要表现在如下几 个方面: (i)对于调和方程,如果求得了某个区域上的(reen函数,则 这个区域上具有任意连续边值的一切 Dirichlet问题解的存在性 也就得到了解决,且其解可用积分(5.2.2)来表示.对于 Poisson 方程的解,可用积分式(523)表示 (i)对于某些规则区域,如球、半空间和第一卦限等, Green 函数可以用初等方法求得,而这些规则区域上的 Dirichlet问题 在偏微分方程的研究中有很重要的作用 (i)利用(522)式可以讨论解的性质 (iv)对于半线性方程-△=f(x,)的齐次 Dirichlet间 题,可以用 Green函数化为等价的积分方程 (y) =/ G(e, y)f(, u)dx
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