《偏微分方程》第5章位势方程 由定理51.2和定理513直接得到下面关于调和函数的强 最大最小值原理与弱最大最小值原理(证明留作练习) 定理51.4(a)(调和函数的强最大最小值原理)一个在区 域(可以无界)内调和的函数不可能在9内达到最大值和最小 值,除非它是常数 (b)(调和函数的弱最大最小值原理)设?有界,u∈C()∩ (),且在!内调和,则 max lu( e= max ula Q
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏徼分方程》第5章位势方程 推论55(调和函数的比较原理)设u,U∈C2(nC(2), 在Ω中满足△u=Δ",在:?上=0,则在!中u≡ 推论516若u和U分别是调和与下调和函数,在O9上 =0,则在?中≤u 由推论5.16也可看出“下调和”这个术语的由来
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏徼分方程》第5章位势方程 在第1章1.2节中,我们定义了调和方程的第一边值问题(即 Dirichlet问题)及第二边值问题(即 Neumann问题).在实际问 题中,时常会遇到这两类问题的另一种提法,即求一个函数u, 使它在有界区域Ω外调和,而在∂g上满足第一类边界条件(或 第二类边界条件),且满足limu(r)=0,这种问题我们称之为 Dirichlet外问题(Ne elmann 外问题).相应地,第1章1.2节 中所定义的 Dirichlet问题及 Neumann问题分别称为 Dirichlet 内问题和 Neumann内问題.下面给出最大最小值原理在证明 Dirichlet内问题及外问题的解的唯一性和稳定性时的应用
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏微分方程》第5章位势方程 定理5.17(唯一性与稳定性)设!是R”中有界区域,则 Poisson方程的 Dirichlet内问题 △a=f,x∈g (x),x∈a2 至多一个解,且连续依赖于边值∽(x) 定理518(唯一性与稳定性)设是R”中无界区域,则 Poisson方程的 Dirichlet问题 △u=f,x∈g (x),x∈g2 lim u=0 至多一个解,且连续依赖于边值φ(x)
《偏微分方程》第5章 位势方程
《偏徼分方程》第5章位势方程 5.2 Green函数 52.1 Greer函数的导出及其性质 我们试图利用调和函数的基本积分公式(51.11)求解调和方 程的第一边值问题.但由于积分式中 m 这一项是未知的,使得 不能直接利用此式去求解.那么能否设法“消去”此项而求出问 题的解呢?这就引出了(reen函数的概念及相应的讨论. 设函数h(x,y)关于x属于C2(3),在!中满足-△xh= 0,对满足同样光滑条件的调和函数u(x),利用Gren第二公式 (5.1.7)得 ah O ( h)dSx+/h△udr=0 (5.21)
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