第二节 第七章 数量积向量积“混合积 两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章
两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下,沿与力夹角为0 的直线移动,位移为s,则力F所做的功为 W=FS cos 0 F 1.定义 设向量d,b的夹角为θ,称 M 记作 ab cos e W=F·s 为d与b的数量积(点积) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当d≠0时,b在a上的投影为 b cos e 记作 Pri: b 故ab=d|Prjb 同理,当b≠0时, b=l b pri a 2.性质 a≠0.b≠0 (1) a·=a 则a·b=0 (2)a,b为两个非零向量,则有 a·b=0—d⊥b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
b 在a上的投影为 记作 故 同理,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 b Prja b a b = a Prja b (1) a a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0, b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3运算律 (1)交换律ab=bd b (2)结合律(,为实数) (2a)·b=a·(b)=A(a·b) d (d(b)=(a(4b) =1(db) Pric a pric b (3)分配律(d+b)c=dd+b· rj(a+b) 事实上,当c=0时,显然成立;当C≠0时 (a+b)c=c Prj(a+b)=c( Prj a+prj b) -cPrj a+C Prjc b=a. c+b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) = ( a ( b)) = (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c (a + b) b a a Prj c b c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj = c Prj c a + c Prj c b = a c + b c Prj (a b) c + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明三角形余弦定理 2 a+6-2abcos e 证:如图.设 b cB=a. ca=b. Ab=c a-b c2=(a-b).(a-b)=a'a+bb-2a.b a+b-2 a b cos e a=a.b=6.c at6-2ab cos e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a −b)(a −b)= a a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束