3.2.1 Fourier3变换及其性质 设f,g∈L(®"”），则f*g∈L(R）.事实上，由Fubini定理知 af*gxd≤-外lg(x-yl ≤∫f(yllg(x-yl ≤∫lf(y)ldlg(x)ldk<+o 关于卷积的Fourier?变换，有下面的性质： 16
设 ，则 . 事实上，由Fubini定理知 1 , n f g L 1 n f g L ( )( ) ( ) ( ) n n n f g x dx dx f y g x y dy 关于卷积的Fourier变换，有下面的性质： 16 3.2.1 Fourier变换及其性质 ( ) ( ) n n f y dy g x y dx ( ) ( ) . n n f y dy g x dx
3.2.1 Fourier变换及其性质 性质5（卷积性质）设f,g∈L(R“)nL(R),则有 F[f*g]=Ff]F[g] (3.2.12) F-[g]=F-[f]*F-[g], (3.2.13) F-2FU小Fr (3.2.14) 证明：利用Fubini,定理和变量代换，可证（3.2.12)式。 (3.2.13)式和(3.2.14)式类似可证。 17
17 3.2.1 Fourier变换及其性质 性质5（卷积性质）设 ，则有 F f g F f F g , 1 2 , n n f g L L （3.2.12） 1 1 1 F fg F f F g , （3.2.13） 1 . (2 )n F fg F f F g （3.2.14） 证明：利用Fubini定理和变量代换，可证（3.2.12）式。 （3.2.13）式和（3.2.14）式类似可证。
3.2.2解齐次初值问题 作为Fourier积分变换最典型的应用，本节首先介绍它在求解齐次热传导方程 Cauchy问题 4-△u=0, x∈R",0<t<oo (3.2.15) u(x,O)=p(x),xeR” 中所起的关键作用。 设初值问题（3.2.l5)的解u(x,t)和初始数据p(x)都可关于变量x施行Fourier 变换换，并记(5，t)=F[u,(5)=F[p].对问题（3.2.15)中各等式两端进行 Fourier3变换，得到关于(5，t)的常微分方程初值问题 5,)+l5f5,)=0, dt (3.2.16) (5,0)=p(5) 计算易得i(5,)=(5)e 18
3.2.2 解齐次初值问题 作为Fourier积分变换最典型的应用，本节首先介绍它在求解齐次热传导方程 Cauchy问题 0, ,0 ,0 , n t n u u x t u x x x 18 中所起的关键作用。 设初值问题（3.2.15）的解 和初始数据 都可关于变量 x 施行Fourier 变换换，并记 . 对问题（3.2.15）中各等式两端进行 Fourier变换，得到关于 的常微分方程初值问题 （3.2.15） u x t ( , ) ( ) x u t F u F ˆ( , ) [ ], ( ) [ ] ˆ u t ˆ( , ) 2 ˆ( , ) ( , ) 0, ˆ ˆ( ,0) . ˆ d u t u t dt u （3.2.16） 2 ˆ( , ) ( ) . ˆ t u t e 计算易得
3.2.2解齐次初值问题 对(5，)=(5)ef'作Fourieri逆变换，并利用卷积定理得 x,)=F一[(5)e门 =F-[(】*F-[e] =4o0 =J.D(x-y,t)o(y)dy,xER",t>0. (3.2.17) 公式(3.2.17)称为热传导方程Cauchy问题解的Poisson公式，Φ(x,t)是热传导方 程的基本解，也称为热核，或初值问题（3.2.15)的解核。 19
对 作Fourier逆变换，并利用卷积定理得 2 2 2 1 1 1 4 2 ( , ) ˆ ˆ 4 , , , 0. n n t t x y n t n u x t F e F F e t y e dy x y t y dy x t x t, 19 3.2.2 解齐次初值问题 2 ˆ( , ) ( ) ˆ t u t e 公式（3.2.17）称为热传导方程Cauchy问题解的Poisson公式， 是热传导方 程的基本解，也称为热核，或初值问题（3.2.15）的解核。 （3.2.17）
3.2.2解齐次初值问题 在上面推导问题（3.2.15)的形式解（3.2.17)的过程中，假设了初值函数p(x) 的Fourier3变换存在，并用到还原公式F-[]=p.这通常要求p(x)绝对可积且有连 续的一阶微商。其实，在对0(x)附加弱得多的条件下，就可证明(3.2.17)所表 示的函数u(x,t)是问题（3.2.15)的解。 定理3.2.1设p(x)eC(R"）nL(R）,u(x,)定义如(3.2.17)式，则有 (i)(x,t)∈C°(R”×(0,oo), (ii)u,(x,t)-△u(x,t)=0,x∈R”,t>0, (ii)对于任意的x,∈R”,有limu(x,t)=p(xo)》 (x,1)→(x0,0) XER"1>0 20
在上面推导问题（3.2.15）的形式解（3.2.17）的过程中，假设了初值函数 的Fourier变换存在，并用到还原公式 . 这通常要求 绝对可积且有连 续的一阶微商。其实，在对 附加弱得多的条件下，就可证明（3.2.17）所表 示的函数 是问题（3.2.15）的解。 ( ) x 1 F [ ] ˆ ( ) x x u x t ( , ) 定理3.2.1 设 , , 定义如（3.2.17）式，则有 n n x C L u x t ( , ) ( (0, )), n u x t C 0 n x 0 0 ( , ) ( ,0) , 0 lim ( , ) ( ). n x t x x t u x t x 20 3.2.2 解齐次初值问题 ( , ) ( , ) 0, , 0, n t u x t u x t x t （i） （ii） （iii）对于任意的 ，有