电子科技大学：《偏微分方程 Partial Differential Equations》课程教学资源（课件讲稿）古典理论：第三章 热传导方程

3.2.1 Fourier3变换及其性质 性质1若f(x)EC(R”)nL(R),则有 F-F[f](x)=f(x),x∈R”, (3.2.3) FF-[f](x)=f(x),VxER". (3.2.4) 性质2（线性性质）若f(x),g(x)∈L(R”),则对任意常数a,%2,有 F[af+az8]=aF[f]+aF[g] (3.2.5) F-[af+ag]=aF-[f]+aF-[g]. (3.2.6) 由积分的线性性质容易证明上述事实。 11

性质1 若 ，则有 性质2（线性性质）若 ，则对任意常数 ，有 （3.2.3） （3.2.4）       1 1 n n f x C L        1 1 1 1 2 1 2 F f g F f F g     .       F f g F f F g     1 2 1 2        ,       1 , n f x g x L  1 2  , 11 3.2.1 Fourier变换及其性质 1 [ ]( ) ( ), , n F F f x f x x     1[ ]( ) ( ), . n FF f x f x x     （3.2.5） （3.2.6） 由积分的线性性质容易证明上述事实

3.2.1 Fourier3变换及其性质 性质3（微分性质）设∫，f,∈L(R")nC(R"),并设当x→+o时f(x)→0， 则有 F[fx](5)=i5,F[f](5) (3.2.7) 其中，i是虚数单位。 证明：不妨设n. F[f](5)=∫f,(x)ed (3.2.8) 由上式利用分部积分公式可以证明（3.2.7)。 ◆ 12

性质3（微分性质）设 ，并设当 时 ，则有 （3.2.7） 其中，i 是虚数单位。     1 , j n n x f f L C   x   f x   0 [ ]( ) [ ]( ). j F f i F f x j     12 3.2.1 Fourier变换及其性质 证明：不妨设j=n. [ ]( ) ( ) n n n ix F f f x e dx x x       1 1 1 1 ( ) 1 1 ( ) . n n n n n ix i x x x n n f x e dx e dx dx                          （3.2.8） 由上式利用分部积分公式可以证明（3.2.7）。 

3.2.1 Fourier3变换及其性质 利用数学归纳法可以证明 F[Df]=(i5)F[f], (3.2.9) 其中，=(c,2,…,cn)称为多重指标，0x(i=1,…,n)是非负整数，并且规定 le =y,+02+…+&n, D= xa=(x)(x2)“…(xn) 这里要求f适当光滑，式中出现的f的各阶微商都可进行Fourier?变换，且当x→+oo 时，各阶微商都趋于零。 对函数的微分运算，经Fourier3变换可以转化为乘积运算，通过Fourier?变换可 以把常微分方程化为函数方程，把某些偏微分方程化为常微分方程。 13

13 3.2.1 Fourier变换及其性质 利用数学归纳法可以证明 F D f i F f [ ] ( ) [ ],     （3.2.9） 其中，      ( , , , ) 1 2 n 称为多重指标， i( 1, , ) i n  是非负整数，并且规定 1 2 ,         n 1 2 1 2 , n n x x x D           1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) . n n x x x x      这里要求 f 适当光滑，式中出现的 f 的各阶微商都可进行Fourier变换，且当 时，各阶微商都趋于零。 x   对函数的微分运算，经Fourier变换可以转化为乘积运算，通过Fourier变换可 以把常微分方程化为函数方程，把某些偏微分方程化为常微分方程

3.2.1 Fourier?变换及其性质 d 性质4（幂乘性质）设f(x),x,f(x)∈L(R”),则有 F-ix()=2 Ff). (3.2.10) 05 证明：由定义、定理条件、含参量反常积分的维尔斯特拉斯M判别法、含参量反 常积分的可微性定理，可以证明（3.2.10)。 一般地，有 FI(-i)xf]=DFLf] 3 .11） 其中，要求f足够光滑且所涉及的变换都存在。 14

性质4（幂乘性质）设 ，则有 [ ]( ) [ ]( ). j （3.2.10） j F ix f F f        14 3.2.1 Fourier变换及其性质 1 ( ), ( ) ( ) n j f x x f x L  证明：由定义、定理条件、含参量反常积分的维尔斯特拉斯M判别法、含参量反 常积分的可微性定理，可以证明（3.2.10）。  一般地，有 F i x f D F f [( ) ] [ ],      （3.2.11） 其中，要求 f 足够光滑且所涉及的变换都存在

3.2.1 Fourier3变换及其性质 定义（卷积）设函数∫，g在R”上有定义。若积分」∫(y)g(x-y)d山对所有的 x∈R”都收敛，则称该积分为f与8的卷积，记为 (f+g)(x)=f(y)g(x-y)dy. 卷积有如下性质： (1)交换律∫*g=g*f (2)结合律f*(g*h)=（f*g)*h; (3)分配律f*(g+h)=f*g+f*h, 15

定义（卷积） 设函数 在 上有定义。若积分 对所有的 都收敛，则称该积分为 与 的卷积，记为 f g, n     n f y g x y dy   n x f g        . n f g x f y g x y dy     卷积有如下性质： （1）交换律 （2）结合律 （3）分配律 f g g f    ; f g h f g h          ; 15 3.2.1 Fourier变换及其性质 f g h f g f h        