极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式: sInd li 1lim(1+-)2=e x→>0x 为此先介绍判定极限存在的准则
极限存在准则 两个重要极限 本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式： 1 sin lim 0 x x x e x x x ) 1 lim(1 为此先介绍判定极限存在的准则
、极限存在准则 1夹逼准则 准则|如果数列xn,yn及n满足下列条件 (1)Vn≤xn≤n(n=1,2,3…) n→0 n→0o 那末数列x的极限存在,且imxn=a 证 yn→a,死n→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得
一 、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n 那末数列 n x 的极限存在, 且 x a n n lim . 证 y a, z a, n n 0, N1 0, N2 0, 使得
当n>N时恒有yn-a<8, 当n>N2时恒有zn-a<6 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, -8<yn<+8,a-8<n<a+8, 当n>N时,恒有a-8<yn≤xn≤zn<a+, 即xn-a<E成立 limx a n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
, 1 n N y a 当 时恒有 n , 2 n N z a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N N1 N2 上两式同时成立, a y a , 即 n a z a , n 当 n N时, 恒有 a y x z a , n n n 即 x a 成立, n lim x a. n n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则′如果当x∈U(x)(或x>M)时,有 (1)g(x)s∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(r=A, x→. x→x x→0 x→0) 那末lim∫(x)存在,且等于A x→x 0 x→0 A+al y=h(x) y=f(x) y=g(x) 0 6
准则Ⅰ′ 如果当 ( ) 0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x 存在, 且等于A. y h( x) y f ( x) y g(x) A A 0 x x0 x0 （（ 1 ）） 2 A
准则I和准则I'称为夹逼准则 注意:(1)利用夹逼准则求极限关键是构造出y与zn, 并且yn与z,的极限是容易求的 (2).此准则对于x→∞时的情形也成立 夹逼定理示意图 g(x)≤f(x)≤h(x)
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 注意: . (1). , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 与 n n n n y z y z (2).此准则对于x 时的情形也成立 g(x) f (x) h(x) 夹逼定理示意图 A