若(4)，则西尔维斯特方程可能有解也可能无解，但仍 有求解方法。 只要选5=0，(1-At=0,t是A对应于元的特征向量时， 方程有解。 为了避免方程无解，在用求解西尔维斯特方程计算状态反 馈阵时，总是选取2()即A和F没有相同的特征值。 (2)基于求解西尔维斯特方程计算状态反馈阵的方法 设(A,B)能控，其中A是nxn阵，B是nxp阵，求一个pxn的 K,使(4-BK)具有期望的特征值，（其中不包含A的特征值）
若 ，则西尔维斯特方程可能有解也可能无解，但仍 有求解方法。 λ ∈ λ(A) i 只要选 ， ， 是 对应于 的特征向量时， 方程有解。 r = 0 i I − A t = 0 i i (λ ) i t A λi 为了避免方程无解，在用求解西尔维斯特方程计算状态反 馈阵时，总是选取 ，即 和 没有相同的特征值。 λi ∉ λ(A) A F ⑵基于求解西尔维斯特方程计算状态反馈阵的方法 设 能控，其中 是 阵， 是 阵，求一个 的 ，使 具有期望的特征值，(其中不包含 的特征值)。 （A, B ） A n × n B n × p p × n K (A －BK) A
计算步骤如下： ①选择一个对角线型常数阵℉，使其具有期望的特征值， 并且不包含有A的特征值，即元，EA)。 ②选一个任意Pxn的常数阵，使(F,)能观； ③求解西尔维斯特方程AT-F=贩，定出其唯一解T; ④若T是非奇异的，转入下一步。若T是奇异的，则重选 F或，再重复以上步骤； ⑤计算状态反馈阵K=T。 算法中需要证明两，点： (A-BK) 的特征值等于的特征值F; T为非奇异的必要条件是(A,B)能控且(F,)能观
计算步骤如下： ① 选择一个对角线型常数阵 ，使其具有期望的特征值 ， 并且不包含有 的特征值，即 。 F λ ∉λ(A) A i λi ② 选一个任意 的常数阵 ，使 能观； p× n K （ F, K） ③ 求解西尔维斯特方程 ，定出其唯一解 ； AT −TF = BK T ④ 若 是非奇异的，转入下一步。若 是奇异的，则重选 或 ，再重复以上步骤； T T F K ⑤ 计算状态反馈阵 。−1 K = KT 算法中需要证明两点： (A－BK) 的特征值等于的特征值 ；F T 为非奇异的必要条件是 能控且 能观。 （A, B） （ F, K）
定理6一3假设西尔维斯特方程 AT-TF=BK 式中，A,F,T都是nxn常数阵，B是n×p常数阵，若T是 非奇异的，令K=T-,K是Pxn常数阵。则M-B)的特征值 等于F的特征值。 证明若T是非奇异的，则 AT-TF BK =BKT (A-BK)T=TF A-BK=TFT- (6-60) 上式说明，(A一BK)与F是相似的，它们具有相同的特征值。 证毕 (A-BK)的特征值可以任意配置，但除了A的特征值外。因 为只有当A与F不具有相同的特征值时，方程AT-TF=Br 存在唯一解T
定理6－3 假设西尔维斯特方程 AT −TF = BK 式中， ， ， 都是 常数阵， 是 常数阵，若 是 非奇异的，令 ， 是 常数阵。则 的特征值 等于 的特征值。 A F T n× n B n× p T −1 K = KT K p× n (A－BK) F 证明 若 是非奇异的，则 T AT −TF = BK = BKT (A− BK)T = TF −1 A− BK = TFT 上式说明， 与 是相似的，它们具有相同的特征值。 (A－BK) F 证毕 （6－60） 的特征值可以任意配置，但除了 的特征值外。因 为只有当 与 不具有相同的特征值时，方程 存在唯一解 。 (A－BK) A A F AT −TF = BK T
定理6一4若A和F没有相同的特征值，则AT-TF-B驱存在非 奇异解T的必要条件是(4，B)能控且(F)能观。对单变量系 统则是充分必要条件。 *证明先考虑多变量系统P1的情况。 若A的特征多项式为： △(S)=s”+a1s+…+&n-1S+an 由凯莱一哈密顿定理 △(A)=A"+C1A-+…+C-1A+CnI=0 考虑 A(F)=F"+a F++F+aI 设元是F的特征值，因此△（⑦）也是△(F)的特征值。 由于A和F没有相同的特征值，所以△()≠0以及A(F)≠0
定理6－4 若 和 没有相同的特征值，则 存在非 奇异解 的必要条件是 能控且 能观。对单变量系 统则是充分必要条件。 A F AT −TF = BK T （A, B） （ F, K） ∗ 证明 先考虑多变量系统 的情况。 p ≠ 1 若 的特征多项式为： A n n n n Δ s = s +α s + +α − s +α − 1 1 1 ( ) L 由凯莱—哈密顿定理 Δ A = A + A + + − A+ I = 0 − n n n n α α 1 α 1 1 ( ) L 考虑 F F F F I n n n n Δ = +α + +α − +α − 1 1 1 ( ) L 设 是 的特征值，因此 也是 的特征值。 λi F ( ) Δ λi Δ(F) 由于 和 没有相同的特征值，所以 以及 。 A F Δ( ) ≠ 0 λi Δ(F) ≠ 0
方阵的行列式等于其特征值的乘积，则 detA(F)=Π△(7)≠0 即A(F)是非奇异的。 利用AT=TF+B匠及 A2T-TF2=A(TF+BK)-TF2=ABK+(AT-TF)F 可得以下方程： IT-TI=0 AT-TF=BK A2T-TF2=ABK+BKF AT-TF3 =A2BK+ABKF+BKF2 AT-TF=A3BK+A2BKF+ABKF2+BKF3 A"T-TF4=A"-BK+A"-2BKF+..+ABKE-2+BKE-
方阵的行列式等于其特征值的乘积，则 det Δ( ) = ∏ Δ( ) ≠ 0 i F λi 即 是非奇异的。 Δ(F) 利用 及 AT = TF + B K A T TF A TF BK TF ABK AT TF F 2 2 2 − = ( + ) − = + ( − ) 可得以下方程： IT −TI = 0 A T −TF = B K A T TF ABK BKF 2 2 − = + 3 3 2 2 A T −TF = A BK + ABKF + BKF 4 4 3 2 2 3 A T −TF = A BK + A BKF + A BKF + BKF M 4 −1 −2 −2 −1 − = + + + + n n n n n A T TF A BK A BKF L ABKF BKF