例1 讨论函数y=e-x-1的单调性解 : y' = e* -1.又: D: (-00,+o0)2.52在(-80,0)内,y<0,1.50.5:.函数单调减少；12n在(0,+)内，y'>0，：函数单调增加注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
例1 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+)
单调区间求法问题：如上例，函数在定义区间上不是单调的但在各个部分区间上单调定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法：用方程f'(x)=0的根及 f'(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 导数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x 单调区间求法
y例2 确定函数 f(x)= 2x3 -9x2+12x-3的单调区间解 : D :(-00,+0).0.51.522.5f'(x) = 6x2 - 18x +12 = 6(x - 1)(x - 2)解方程f(x)=0 得， x, =1,x2 = 2.当-0<x<1时，f(x)>0,:: 在(-0,1]上单调增加;当1<x<2时,，f'(x)<0，：. 在[1,2]上单调减少;当2<x<+oo时，'(x)>0,:. 在[2,+o)上单调增加单调区间为 (-0,1],[1,2],[2,+o0)
例2 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时， f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时， f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]， [1,2]，[2,+)
例3石确定函数 f(x)=/x2的单调区间解 : D : (-00,+00),22.5f'(x) =(x ± 0)x3/x当x =0时,导数不存在2-2当-0< x<0时，f'(x)<0,: 在(-8,0]上单调减少;当0<x<+时，f'(x)>0，：.在[0,+)上单调增加单调区间为(-0,0],[0,+)
例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+). , ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x
注意：区间内个别点导数为零，不影响区间的单调性例如，y= x,ylx=o = 0，但在(-o0,+o)上单调增加例4 当x >0时,试证x >ln(1+x)成立,x证 设f(x)= x-In(1+x), 则 f'(x)=1+ x: f(x)在[0,+o0)上连续,且(0,+o)可导，f'(x) >0,:在[0,+)上单调增加；：f(0)= 0,:. 当x > 0时, x - In(1 +x) > 0, 即 x >In(1 +x)
例4 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加