设 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导Xo,x, + Ar E (a,b), 则有f(x +△x)- f(xo) = f'(x +0△x)·△x (0<0<1)也可写成△y= f'(x,+△r)·△r (0<<1)增量△y的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式微分中值定理拉格朗日中值定理称有限增量定理推论如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为零,那末f(x)在区间I 上是一个常数
设 f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导, ( ) ( ) ( ) (0 1). f x0 + x − f x0 = f x0 + x x x0 , x0 + x (a,b), 则有 ( ) (0 1). 也可写成y = f x0 + x x 增量y的精确表达式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理 推论 ( ) . ( ) , 那 末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I
元例2证明arcsin x +arccos x =-1≤x≤1)2证 设 f(x)=arcsinx+arccos x, xe[-1,1]110: f'(x)1-xX:. f(x)= C, x e[-1,1]元 元又: f(0)= arcsin0 +arccos0 = 0+ 22'元即C=2元.. arcsin x + arccos x =2
例 2 ( 1 1). 2 arcsin arccos − 证明 x + x = x 证 设 f (x) = arcsin x + arccos x, x [−1,1] ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − − = = 0. f (x) C, x [−1,1] 又 f (0) = arcsin0 + arccos0 2 0 = + , 2 = . 2 即C = . 2 arcsin arccos x + x =
x例3 讠证明当x>0时< In(1+ x)<x.1+x证 设 f(x)= ln(1 +x),f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的条件:. f(x)- f(0)= f'(E)(x-0),(0 <E<x)1x: f(0)= 0, f(x), 由上式得 Im(1+x)=1+g"=1+x11又:0<E<x—1<1+E<1+x<11+x 1+Exxx即<x,< In(1+ x)<x.1+E1+x1+x
例3 ln(1 ) . 1 0 , x x x x x + + 证明当 时 证 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ()(x − 0),(0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 1 1+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即
二单调函数1、单调性的判别法yV:By=fxy=f(x)BA0xbxbaf'(x)≥0f'(x)≤0定理 设函数y= f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.(1) 如果在(a,b)内f'(x) >0,那末函数y= f(x)在[a,b]上单调增加；(2)如果在(a,b)内,f'(x)<0,那末函数y= f(x)在[a,b]上单调减少
二、单调函数 x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理 ( ) [ , ] . [ , ] (2) ( , ) ( ) 0 . 1 ( , ) ( ) 0 ( ) ( ) [ , ] ( , ) 那末函数 在 上单调减少 在 上单调增加； 如果在 内 ， 导（ ）如果在 内 ，那末函数 设函数 在 上连续，在 内 可 y f x a b a b a b f x a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 1、单调性的判别法
证 V xi,x, E (a,b), 且 x, <X2, 应用拉氏定理,得f(x,)- f(x)) = f()(xz -x))(x <≤<x,): x2 -x > 0,若在(a,b)内，f'(x)>0,则 f'()>0,: f(x2)>f(xi). :. y=f(x)在[a,b]上单调增加若在(a,b)内,f(x)< 0, 则 f'(5)< 0,. f(x2)< f(xi). :. y= f(x)在[a,b]上单调减少
证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少