8033有理函数和可化为有理函数的不定积分
3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形P(x) _ αgx" + αjx"-1 +...+ αn式为-,(1)R(x) =二O(x) βox" +β)xm-I +...+βm0α""°0~°0若m>n,则称它为真分式；若m≤n,则称它为假分式由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和。由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设（1）为一有理真分式。根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若于个部分分式之和（称为部分分式分解）。因而问题归结为求那些部分分式的补丁积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤减数如下（可与后面的例1对照着做）：
一 有理函数的不定积分 有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形 式为 ,(1) . . ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 m m m n n n x x x x Q x P x R x + + + + + + = = − − , , , ,., , ,., , 0, 0. 其中n m为非负整数 0 1 n与 0 1 m都是常数 且0 0 若m n,则称它为真分式；若m n,则称它为假分式。 由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之 和。由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的 不定积分 ，故设（1）为一有理真分式。 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之 和（称为部分分式分解）。因而问题归结为求那些部分分式的补丁 积分。为此，先把怎样分解部分分式的步骤减数如下（可与后面的 例1对照着做）：
第一步对分母Q（x）在实系数内作标准分解：Q(x)=(x-a,). (x-a, )(x + px+q).(x + p,x+q,),(2)b°="(={2:)={)Zα +22u, = m, p, - 4g, <0, - 1,..,.i=1 j=1第二步根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如(x一α)的因式，它所对应的部分分式是AAAk(x-a)kx-a (x-a)把所有部分分式加起来，使之等于R（x）。（至此，部分分式中的常数系数 A，B,,C, 尚为待定的
第一步 对分母Q(x)在实系数内作:标准分解： ( ) ( ) .( ) ( ) .( ) ,(2) 2 1 1 2 1 1 s 1 t s t t Q x x a x a x p x q x p x q = − − + + + + 其中 0 =1,i , j (i =1,2,.,s; j =1,2,.,t)均为自然数，而且 2 ; 4 0, 1,2,., . 2 1 1 m q j t j j t j j s i i + = p − = = = 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式： 对于每个形如 的因式，它所对应的部分分式是 k (x − a) ; ( ) . ( ) 2 1 2 k k x a A x a A x a A − + + − + − 把所有部分分式加起来，使之等于R(x)。（至此，部分分式中的常 数系数 Ai ,Bi ,Ci 尚为待定的。）
第三步确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母O(x而其分子亦应与原分子P（x）恒等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。2x4 - x3 +4x2 +9x-10作部分分式分解例1 对R(x)x5 +x4 -5x3 -2x2 +4x-8解按上述步骤依次执行如下：Q(x)=x +x4 -5x -2x2 +4x-8 =(x-2)(x+2)(x2 -x+1)部分分式分解的待定形式为Bx + CA + A_ +_A,(3)R(x) = -x-2*x+2*(x+2)+x2-x+1用Q(x)乘上式两边，得一恒等式2x4 -x3 +4x2 +9x-10 = A,(x+2)(x2 -x+1)
第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相 加，所得分式的分母即为原分母Q(x),而其分子亦应与原分子P(x)恒 等。于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线 性方程，这组方程的解就是需要确定的系数。 . 5 2 4 8 2 4 9 10 1 ( ) 5 4 3 2 4 3 2 例 对 作部分分式分解 + − − + − − + + − x x x x x x x x x R x 解 按上述步骤依次执行如下： 部分分式分解的待定形式为 用Q(x)乘上式两边，得一恒等式 ( ) 5 2 4 8 ( 2)( 2) ( 1). 5 4 3 2 2 2 Q x = x + x − x − x + x − = x − x + x − x + . (3) 2 2 ( 2) 1 ( ) 2 2 0 1 2 − + + + + + + + − = x x Bx C x A x A x A R x 2 4 9 10 ( 2) ( 1) 2 2 0 4 3 2 x − x + x + x − A x + x − x +
(+ A(x -2)(x+2)(x2 -x+1)+ A(X-2)(x2 -x+1)(4)+(Bx + C)(x - 2)(x + 2)?然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：....x的系数A +A +B = 2,.x3的系数3A - A + A, +2B+C = -1,…..的系数A -3A -3A - 4B + 2C = 4,...x的系数4A +3A -8B-4C = 9,..常数项4A - 4A -2A -8C= -10....求出它的解: A。=1,A = 2, A =-1,B=-1,C =1,并代入（3）式，这便完成了对R(x）的部分分式分解：2 x-1R(x) =x-2x+2 (x+2)2 x2-x+1
( 2)( 2)( 1) ( 2)( 1) 2 2 2 + A1 x − x + x − x + + A x − x − x + ( )( 2)( 2) . 2 + Bx +C x − x + (4) 然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组： A0 + A1 + B = 2,.x 4 的系数 3A0 − A1 + A2 + 2B +C = −1,.x 3 的系数 A0 −3A1 −3A2 − 4B + 2C = 4,.x 2 的系数 4A1 +3A2 −8B − 4C = 9,.x 2 的系数 4A0 − 4A1 − 2A2 −8C = −10.常数项 1, 2, 1, 1, 1, 求出它的解：A0 = A1 = A2 = − B = − C = 并代入（3）式，这便完成了对R(x)的部分分式分解： . 1 1 ( 2) 1 2 2 2 1 ( ) 2 2 − + − − + − + + − = x x x x x x R x