《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第五章 导数与微分 §5 微分

S5微分教学内容：1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与可微是等价的。2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变性。4、微分在近似计算中的应用。要求：1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系

§5 微分 教学内容： 1、给出了函数在一点得微分（可微）的概念，并证明了可导与 可微是等价的。 2、微分运算法则以及一阶微分形式的不变性。 3、高阶微分的定义与计算，并说明高阶微分不具有形式的不变 性。 4、微分在近似计算中的应用。 要求: 1、掌握微分概念，理解微分的分析和几何意义。 2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联系

问题的提出：恩格斯在《反社林论》中指出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用性函数去逼近？例：设一边长为x的正方形，它的面积s=x2是x的函数。若边长由x,增加了△r，相应地正方形面积地增量As = (x + A)- x = 2x,Ax +(△x)△S由两部分组成：（I）2x,x（阴影部分）（I）（△x），它是关于△x的高阶无穷小量因此，当给x一个微小增量△x时，由此引起的正方形增量△s可近似地用△x的线性部分2x，Ax来代替，且由此产生的误差是一个关于人的高阶无穷小量

问题的提出： 恩格斯在《反社林论》中指出：“高等数学的主要基础之一 是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”。这 里所说的“一定条件”指的是什么？换句话说，怎样的函数可用线 性函数去逼近？ 由两部分组成： （Ⅰ） （阴影部分） （Ⅱ） 它是关于 的高阶无穷小量 s 2x0 x ( ) , 2 x x 例：设一边长为x的正方形，它的面积 是 的函数。若边 长由 增加了 ，相应地正方形面积地增量 2 s = x x 0 x x 2 0 2 0 2 0 s = (x + x) − x = 2x x + (x) x 因此，当给 一个微小增量 时，由此引 起的正方形增量 可近似地用 的线性部分 来代替，且 由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。 x0 x s x x x 0 2 x

微分的概念定义：设函数y=f(x)定义在点x的某邻域U(x)内。当给xo一个增量△x,x+△rEU(x)时，相应地得到函数的增量为：Ay = f(x, +Ar)- f(xo)如果存在常数A，使得△V能表示成(1)Ay = AAr + o(Ax),则称函数f在点x.可微，并称（1）式中的第一项A△x为f在点x,的微分，记作d| x=x, = AAx或(df(x) x=x,= AAr注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于△r的高阶无穷小量。②若函数f在点x,可微，则在点（xo，f(x）的小邻域内可用切线代替曲线

一 微分的概念 定义：设函数 定义在点 的某邻域 内。当给 一个增量 时，相应地得到函数的增量为： 如果存在常数A，使得 能表示成 则称函数 在点 可微，并称（1）式中的第一项 为 在 点 的微分，记作 y = f (x) x0 ( ) 0 U x 0 x , ( ) 0 0 x x + xU x ( ) ( ). 0 0 y = f x + x − f x y f x0 y = Ax + (x), （1） Ax f x0 dy x= x = Ax 0 或 df x x= x = Ax 0 ( ) 注意：①函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷 小量。 ②若函数 在点 可微，则在点 的小邻域内可 用切线代替曲线。 x f 0 x ( , ( )) 0 0 x f x

可导与可微的联系与区别1、函数f在点x,可导与可微是等价的，且dy= f'(x,)Ar.2、函数f(x)在点x的导数f(x)与微分dy=f(x)(x-x）的区别。①f(x是一个函数，而微分dy=f(x)(x-x）是x的线性函数它的定义域是R,它是无穷小，即lim dy=lim[r(xo)(x-xo)]=0.②从几何意义上说，导数f(x是曲线y=f(x在点（x，f(x）的切线斜率，而微分dy=f'(x,)(x-x)是曲线y=f(x)在点xo，fx的切线方程在点x的纵坐标。③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似计算和微分运算

二 可导与可微的联系与区别 1、函数 在点 可导与可微是等价的，且 ( ) . 0 dy = f  x x f x0 ( )( ) 0 0 2、函数 在点 的导数 与微分 dy = f  x x − x 的区别。 ① 是一个函数，而微分 是 的线性函数， 它的定义域是R,它是无穷小，即 ②从几何意义上说，导数 是曲线 在点 的 切线斜率，而微分 是曲线 在点 的切线方程在点 的纵坐标。 ③导数通常用于关于函数性质理论的研究，而微分通常用于近似 计算和微分运算。 f (x) x0 ( ) 0 f  x ( ) 0 f  x ( )( ) 0 0 dy = f  x x − x x lim lim  ( )( ) 0. 0 0 0 0 =  − = → → dy f x x x x x x x ( ) x0 f  y = f (x) ( , ( )) 0 0 x f x ( )( ) 0 0 dy = f  x x − x y = f (x) ( , ( )) 0 x0 x f x

三 微分的运算法则1、微分运算法则① d[u(x)±v(x)= du(x)±dv(x);d[u(x)v(x)= v(x)du(x) +u(x)dv(x);v(x)du(x)-u(x)dv(x)（临(x)d(f · g(x))= f'(u)g'(x)dx,其中u= g(x)2、一阶微分方程的不变性y = f[g(x)l u= g(x),则 dy = f"[g(x)lg'(x)dx = f(u)du

三 微分的运算法则 1、微分运算法则 ① ② ③ ④ du(x) v(x)= du(x) dv(x)； du(x)v(x)= v(x)du(x)+ u(x)dv(x); ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x v x du x u x dv x v x u x d − =        d( f  g(x)) = f (u)g (x)dx,其中u = g(x). 2、一阶微分方程的不变性 y = f g(x),u = g(x), 则 dy = f g(x)g (x)dx = f (u)du