《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第六章 微分中值定理及其应用 第二节 柯西中值定理和不定式的极限

第二节柯西中值定理和不定式的极限

第二节 柯西中值定理和 不定式的极限

一、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理里如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,bl上连续，在开区间(a,b)内可导，且F(x)在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b), 使等式f(b)-f(a) - f ()成立F(b)-F(a)F()

一、柯西(Cauchy)中值定理 柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x)及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且 ( ) ' F x 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b)内 至 少有一点(a    b),使等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' '   F f F b F a f b f a = − − 成 立

几何解释：X=F(X)y(Y=f(x)C在曲线弧AB上至少有MB一点C(F(E),f(E),在DNA该点处的切线平行于弦AB.x0F(a)F(5,)F(b)F(5)F(x)证作辅助函数f(b)- f(a)[F(x) - F(a)](p(x) = f(x)- f(a)F(b)- F(a)p(x)满足罗尔定理的条件则在(a,b)内至少存在一点,使得 β'()=0

几何解释: ( ) 1 F  ( ) 2 o F  x y    = = ( ) ( ) Y f x X F x F(a) A F(b) B C D F(x) N M . ( ( ), ( )), AB C F f AB 弦 该点处的切线平行于 一点 在 在曲线弧 上至少有   证 作辅助函数 [ ( ) ( )]. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a F b F a f b f a x f x f a − − −  = − − (x)满足罗尔定理的条件, 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0

则在(a,b)内至少存在一点,使得 β'()= 0.即 F(5)- 1(b)- {() F(5)=0,.F(b)- F(a)f(b)- f(a) - f'(E)F(b)-F(a) F'(E)当 F(x)=x,F(b)- F(a)= b-a, F'(x)= 1,f(b)-f(a) _f'(E)f(b)- f(a)= f'(E)F(b)-F(a) F()b-a

( ) 0, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = − −   − F F b F a f b f a 即 f . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = − −  F f F b F a f b f a 则在(a,b)内至少存在一点,使得 () = 0. 当 F(x) = x, F(b) − F(a) = b − a, F(x) = 1, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = − − F f F b F a f b f a ( ). ( ) ( ) =   − − f b a f b f a

例4 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明:至少存在一点 E(0,1),使 f'() =2E[f(1)-f(O)I证分析：结论可变形为f(1)-f(0) _ f'() - f(x)设g(x)=x2,25 (x*ylx=5:1-0则 f(x),g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件:在(0,1)内至少存在一点,有f(1)-f(0) f'(E)即 f'() = 2E[f(1)- f(O)251-0

例4 (0,1), ( ) 2 [ (1) (0)]. ( ) [0,1] , (0,1) , : f f f f x 至少存在一点  使   =  − 设函数 在 上连续 在 内可导 证 明 证 分析: 结论可变形为    = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f . ( ) ( ) 2 =   = x x f x ( ) , 2 设 g x = x 则 f (x), g(x)在[0,1]上满足柯西中值定理的条件, 在(0,1)内至少存在一点,有    = − − 2 ( ) 1 0 f (1) f (0) f 即 f () = 2[ f (1) − f (0)]