∑∑a9(x)(x)=∑y9(x) 0j=0 i=0 ∑D∑9(x)(x)=∑y(x) 0i=0 k=0,1,…,n a∑q(x)(x)+a∑q(x)k(x)+…+an∑q2(x)(x i=0 =0 ∑yq4(x) k=0,1,…,n
åå å = = = = m i i k i m i k i n j j j i a x x y x 0 0 0 j ( )j ( ) j ( ) å å å = = = = m i i k i n j k i j m i j i x x a y x 0 0 0 [ j ( )j ( )] j ( ) k = 0,1,L,n ---------(4) å å å å = = = = = + + + m i i k i k i m i k i n n i m i k i i m i i y x a x x a x x a x x 0 0 0 1 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j L j j k = 0,1,L,n 即
显然(4)是一个关于a0,a…,a的n+1元线性方程组 引入记号q,=(0(x0),q,(x1)…,,(xn) 则由内积的概念可知 (k,)=∑9(x)/(x) (5) ,)=∑q(x)y 显然内积满足交换律(k,9)=(/(k)
显然(4)是一个关于a0 ,a1 ,L,an的n + 1元线性方程组 引入记号 ( ( ), ( ), , ( )) r 0 r 1 r m = j x j x L j x jr ( , , , ) 0 1 m f = y y L y ( , ) ( ) ( ) 0 j i m i k j k i j j åj x j x = = 则由内积的概念可知 i m i k k i f å x y = = 0 (j , ) j ( ) ---------(5) ---------(6) ( , ) jk j j ( , ) 显然内积满足交换律 = j j jk
方程组(4)便可化为 ao(k90)+a1(qk1)+…+an(0k,n)=(k) k=0,1 这是一个系数为(qk)常数项为(k,)的线性方程组 将其表示成矩阵形式 (0o,o)(qo,1)…(on) (10)(01,01)…(q1n) 1 n/yo n 简单记为Ga=b
方程组(4)便可化为 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 1 1 a a a f jk j + jk j +L+ n jk jn = jk k = 0,1,L,n ---------(7) 这是一个系数为(jk ,j j ),常数项为(jk , f )的线性方程组 将其表示成矩阵形式 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ n a a a M 1 0 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 f f f jn j j M ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ( , ) ( , ) ( , ) j0 j0 j0 j1 L j0 jn ( , ) ( , ) ( , ) j1 j0 j1 j1 L j1 jn ( , ) ( , ) ( , ) jn j0 jn j1 L jn jn M M M -----(8) G a b 简单记为 n =
称(8)式为函数序列q0(x)1(x)…,n(x) 在点x,x1…,xn上的法方程组 并且其系数矩阵为对称阵 由于φ(x),1(x)…,qn(x)为函数类Φ的基 因此q0(x)1(x)…O、(x)必然线性无关 所以法方程组的系数矩阵非奇异即 det(Gn)=det(o,9)n+1×(m1)]≠=0 根据 Cramer法则法方程组有唯一解 *
在点 上的法方程组 称 式为函数序列 m n x x x x x x , , , (8) ( ), ( ), , ( ) 0 1 0 1 L j j L j 由于j0 (x),j1 (x),L,jn (x)为函数类F的基 因此j0 (x),j1 (x),L,jn (x)必然线性无关 并且其系数矩阵为对称阵 所以法方程组的系数矩阵非奇异,即 det( ) det[(( , )) ] 0 Gn = ji j j (n+1)´(n+1) ¹ 根据Cramer法则,法方程组有唯一解 *, *, , * a0 = a0 a1 = a1 L an = an
=∑Ca*q(x)-y) 是v(an,a1…,an)=∑△∑a9(x)-y)2的最小值 0j=0 所以∑(∑a*q(x)-y min ∑△∑q(x)-y) x)∈Φ J=- i=0j=0 ∑(S*(x)-y)2=min∑(S(x)y)2 x)∈ 0 18x=min 8 2 因此S*(x)=∑a(x最小二乘解 0
( *, *, , *) y a0 a1 L an å å= = = - m i i n j j j i a x y 0 2 0 ( , , , ) ( j ( ) ) y a0 a1 L an 即 是 的最小值 2 2 d * å= - m i i i S x y 0 2 ( *( ) ) å= ÎF = - m i i i S x S x y 0 2 ( ) min ( ( ) ) 2 2 ( ) min d ÎF = S x 所以 å å= = - m i i n j j j i a x y 0 2 0 ( *j ( ) ) å å= = ÎF = - m i i n j j j i S x a x y 0 2 0 ( ) min ( j ( ) ) å å= = = - m i i n j j j i a x y 0 2 0 ( *j ( ) ) å 为最小二乘解 = = n j j j S x a x 0 * 因此 *( ) j ( )