4.2高维波动方程的初值问题 ◆球面平均法Euler-Poisson-Darboux?方程 ◆三维波动方程的初值问题Kirchhoff公式 ◆二维波动方程的初值问题-降维法 ◆非齐次方程Duhamel原理 ◆Huygens)原理波的弥散 16
4.2 高维波动方程的初值问题 16 球面平均法 Euler-Poisson-Darboux方程 三维波动方程的初值问题Kirchhoff公式 二维波动方程的初值问题-降维法 非齐次方程 Duhamel原理 Huygens原理 波的弥散
4.2.1球面平均法Euler-Poisson-Darboux方程 假设n≥2，m≥2，u∈C"(R”×[0,o)是初值问题 um-△=0， (x,t)∈R”×(0,o), (4.2.1) u(x,0)=p(x),u,(x,0)=w(x),x∈R". 的解。本节利用球面平均法建立问题(4.2.1)由p和y表示的解(x,t)的表达式。 若=心是径向函数，则有4如=%，+” (4.2.2) 定义（①设x∈R”,t>0,r>0.(,t)在球面aB(x,r)上的平均值定义为 0-aln0n (4.2.3) (类似地 4.()=nlaU以M,(x=n-n0)424) 17
4.2.1 球面平均法 Euler-Poisson-Darboux方程 17 n m 2, 2 ( [0, )) m n u C 0, ( , ) (0, ), ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), . n tt n t u u x t u x x u x x x （4.2.1） u x t ( , ) u u x ( ) 1 . rr r n u u u r （4.2.2） , 0, 0. n x t r 1 ( , ) 1 ( ; , ) : ( , ) ( ), u n B x r n M x r t u y t dS y n r （4.2.3） 假设 , 是初值问题 的解。本节利用球面平均法建立问题(4.2.1)由 和 表示的解 的表达式。 定义(i) 设 在球面 上的平均值定义为 若 是径向函数，则有 u t ( , ) B x r ( , ) (ii) 类似地 1 1 ( , ) ( , ) 1 1 ( ; ) : ( ) ( ), ( ; ) : ( ) ( ). n n B x r B x r n n M x r y dS y M x r y dS y n r n r （4.2.4）