4.1.2反射法 d'Alembert公式在解题和推理方面有不少应用。下面，通过一个例题介绍基于 此公式而行之有效的反射法。 例4.1.1求解半直线R={x>0}上的初边值问题 4n-ux=0, x∈R+,t>0, (x,0)=p(x)u,(x,0)=W(x),x∈R, (4.1.9) 4(0,t)=0, t≥0， 其中p∈C2(R),w∈C(R)是已知函数。 若问题(4.1.9)有解(x,t)∈C2(R×[0,+o),函数p,9业必须满足 p(0)=(0,0)=0,w(0)=u,(0,0)=0, 0"(0)=ux(0,0)=wn(0,0)=0. 混合问题初值与边值的相容条件（或称协调条件） 11
4.1.2 反射法 11 d’Alembert公式在解题和推理方面有不少应用。下面，通过一个例题介绍基于 此公式而行之有效的反射法。 （4.1.9） 例4.1.1 求解半直线 { 0} x 上的初边值问题 0, , 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), , (0, ) 0, 0, tt xx t u u x t u x x u x x x u t t 其中 是已知函数。 2 1 C C ( ), ( ) 若问题(4.1.9)有解 u x t C ( , ) ( [0, )) 2 , 函数 , 必须满足 (0) (0,0) 0, (0) (0,0) 0, t u u (0) (0,0) (0,0) 0. xx tt u u 混合问题初值与边值的相容条件(或称协调条件)
4.1.2反射法 解：先把问题转换到全空间R上去，为此对函数u,p,w作奇延拓（或叫奇反射）如下 u(x,t),x≥0，t≥0， i(x,t)= p(x),x≥0， W(x),x≥0， -u(-x,t),x≤0，t≥0， (x)=仁p-x),x≤0， ()=--xx0, ur-uxx=0, (x,t)∈R×(0,oo), 则(x,t)满足问题 (x,0)=0,u(x,0)=亚，x∈R, 由d'Alembert公式(4.1.7)得2 x)-x+)+x-训+0d →当x≥0，t≥0时的原问题(4.1.9)的解 2ox+0+ox-1+04,x≥i≥0 (x,t)= 1 5ox+0-9u-x+w,0≤x≤L 12
4.1.2 反射法 ( , ), 0, 0, ( , ) ( , ), 0, 0, u x t x t u x t u x t x t ( ), 0, ( ) ( ), 0, x x x x x ( ), 0, ( ) ( ), 0, x x x x x 12 解：先把问题转换到全空间 上去，为此对函数 u, , 作奇延拓(或叫奇反射)如下 则 u x t ( , ) 满足问题 0, ( , ) (0, ), ( ,0) , ( ,0) , , tt xx t u u x t u x u x x 由d’Alembert公式(4.1.7)得 1 1 ( , ) [ ( ) ( )] ( ) . 2 2 x t x t u x t x t x t y dy 1 1 [ ( ) ( )] ( ) , 0, 2 2 ( , ) 1 1 [ ( ) ( )] ( ) , 0 , 2 2 x t x t x t x t x t x t y dy x t u x t x t t x y dy x t （4.1.10） 当 x t 0, 0 时的原问题(4.1.9)的解:
4.1.2反射法 这种将已知函数进行奇延拓或偶延拓而求得原问题的解的方法叫做反射法。 注(1)(4.1.10)式的物理意义：问题(4.1.9)表示左端点固定的一条无限长弦的自由横 振动。间单地说，质点振动的传播就叫做波。固定弦上一个质点坐标x,考察它的 振动。当w=0时，若之1>0，它的位移是由初始位移而引起的右行波与左行波在该 点的叠加；若t≥x>0,它的位移是由右方传来的左行波与在端点x=0反射回来的反 射波的叠加。 注(1)在问题(4.1.9)中，把边界条件换成 u(0,t)=0,t≥0， (4.1.11) 即弦在端点x=0处可自由滑动。设p∈C2(R),y∈C(R)且满足相容条件 p:(O)=W(O)=0.将它们作偶延拓，根据d'Alembert公式可得 13
4.1.2 反射法 13 这种将已知函数进行奇延拓或偶延拓而求得原问题的解的方法叫做反射法。 注(1) (4.1.10)式的物理意义：问题(4.1.9)表示左端点固定的一条无限长弦的自由横 振动。间单地说，质点振动的传播就叫做波。固定弦上一个质点坐标 x，考察它的 振动。当ψ0时，若 x≥ t >0, 它的位移是由初始位移而引起的右行波与左行波在该 点的叠加；若 t ≥ x >0, 它的位移是由右方传来的左行波与在端点 x=0 反射回来的反 射波的叠加。 注(1) 在问题(4.1.9)中，把边界条件换成 (0, ) 0, 0, x u t t （4.1.11） 即弦在端点x=0处可自由滑动。设 且满足相容条件 2 1 C C ( ), ( ) (0) (0) 0. 将它们作偶延拓，根据d’Alembert公式可得
4.1.2反射法 x≥t≥0， (x,t)= 5+0tpx-l+号0冰 o++-+[ru+广U]0s<a 14
4.1.2 反射法 0 0 1 1 [ ( ) ( )] ( ) , 0, 2 2 ( , ) 1 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) , 0 . 2 2 x t x t x t t x x t x t y dy x t u x t x t t x y dy y dy x t 14
电子神发女学 例 /966 4.2高维波动方程的初值问题 15
4.2 高维波动方程的初值问题 15