数学模型 X射绲强度衰减与图像重建的教学原理 ∫A(xyl=hn右端数值可从CT的测量数据得到 图像多条直线L的线积分(x)M被积函数/(x 重建反映人体器官大小、形状、密度的图像 数学P(L)=「f( x, y)dl f(@)= eo dFo q 原理 丌0a 拉东变换 拉东逆变换 Fq)与Q相距q的直线L的线积分P/L)对所有q的平均值 实际上只能在有限条直线上得到投影线积分) 图像重建在数学方法上的进展,为CT技术在各个 领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条供0
X射线强度衰减与图像重建的数学原理 = L I I x y dl 0 ( , ) ln 右端数值可从CT 的测量数据得到 多条直线L的线积分 L (x, y)dl 被积函数μ(x, y) = L Pf (L) f (x, y)dl FQ (q)~与Q相距q的直线L的线积分Pf (L)对所有q的平均值 拉东变换 = − 0 1 ( ) ( ) q dF q f Q Q 拉东逆变换 图像 重建 反映人体器官大小、形状、密度的图像 数学 原理 实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分). 图像重建在数学方法上的进展，为CT技术在各个 领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件
数学模型 m个像素G1…,m,n束射线(=1…,)像 图像重建的代数模型 每个像素对射线的衰减系数是常数 像素的衰减系数 A~射线在像素冲的穿行长度 J(L}射线L穿过的像素集合 射线L h(/D)2L的强度测量数据 ∫A(xyM=-y∑Ny=h(1D=12.,n j∈J(L1)
图像重建的代数模型 Δl j 每个像素对射线的衰减系数是常数 m个像素(j=1,…, m), n束射线(i=1,…,n) i ln( I / I) 0 ~Li的强度测量数据 μj ~像素j的衰减系数 Δl j ~射线在像素j中的穿行长度 J(Li )~射线Li穿过的像素j的集合 = L I I x y dl 0 ( , ) ln 像素j 射线Li l I I i i n j J L j j i ln( / ) , 1,2, , 0 ( ) = =
数学模型 图像重建的代数模型 常用算法m(b。/)2=b,H1=x, 设像素的边长和射线的宽度均为 中心线法 射线L的中心线在像素内的 长度与之比 ∑1AMy=(L/D)∑ Lx=6 j∈J(L) 面积法 a射线L的中心线在像素内的面积;与c之比 中心法a1=1~射线L经过像素的中心点
σ j Li σ l ij 图像重建的代数模型 常用算法 设像素的边长和射线的宽度均为σ ln( / ) , 0 i bi I I = j j = x 中心线法 aij~射线Li的中心线在像素j内的 长度l ij与σ之比. i j J L j j l I I i ln( / ) 0 ( ) = Ax = b 面积法 aij~射线Li的中心线在像素j内的面积sij与σ之比. sij a x b i n m j ij j i , 1,2, , 1 = = = 中心法 aij=1~射线Li经过像素j的中心点
数学模型 图像重建的代数模型代数重建技术(ART) 中心法的简化形式假定射线的宽度为零,间距σ a=1~L经过像素达任一点 001000000 110011001 1001100 000000110 100000000 010110100 0010 1010 000001001 根据A和b,由Ax=b确定像素的衰减系数向量x m和n很大且m>m,方程有无穷多解+测量误差和噪声 A te=b 在x和e满足的最优准则下估计x
图像重建的代数模型 中心法的简化形式 假定射线的宽度为零, 间距σ aij=1 ~Li经过像素j内任一点 7 8 9 4 5 6 1 2 3 L8 L4 L7 L6 L5 L3 L2 L1 σ = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A 根据A和b, 由 Ax = b 确定像素的衰减系数向量x m和n很大且m> n, 方程有无穷多解 + 测量误差和噪声 在x和e满足的最优准则下估计x 代数重建技术(ART) Ax + e = b
数学模型 6.3原子弹爆炸的能量估计 1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界! 后来公布爆炸实际 释放的能量21千吨 当时货科是休密时,无法佣仁计爆郑酌威力 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为192千吨
6.3 原子弹爆炸的能量估计 1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫 戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹, 震惊世界! 当时资料是保密的, 无法准确估计爆炸的威力. 英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带, 利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2千吨. 后来公布爆炸实际 释放的能量21千吨