内容提要 本书系统地介绍了抽象代数这一重要数 学分支的最基本的内容，其中包括群论、 环论与域论，在域论这一章中还比较全面 地介绍了有限Galois理论，书中还配备了一 定数量、难易程度不一的习题，习题均有 解答或提示，书后有附录 本书可供综合性大学、师范大学数学系 学生阅读，可作为教材，亦可供理科各系 以及信息、通讯工程专业的大学生、研究 生及教师参考
前言 抽象代数是数学的一门重要分支众所周知,初等代数研究的是数集上的运 算,高等代数把数集扩展为向量空间、矩阵集和多项式集.抽象代数则以一般集 合上的运算作为研究对象 历史上,抽象代数起源于纯粹理性的思考.19世纪30年代法国天才的青年 数学家 Galois在研究困惑了人类几百年的用根式求解五次方程问题时,发现了 群. Galois不仅彻底地解决了一元n次方程用根式求解是否可能的问题,而且更 重要的是他使人们认识到,除了熟知的数外,在其他集合(如置换集)上也可能存 在着代数结构,即满足一定规则的运算 Galois虽然只活了21岁,但是他的发现 为数学开辟了一个崭新的研究领域随着19世纪末 Cantor集合论的建立,各种 代数结构被定义在一般的集合上,抽象代数的奠基工作完成了 20世纪是抽象代数学蓬勃发展的世纪Lie群、Le代数的出现使几何学和 代数学再次结成了亲密的伙伴,也给抽象代数带来了强大的发展动力拓扑学因 为有了抽象代数而得到了突飞猛进的发展,群、环、模成了研究拓扑空间性质的 基本工具,代数拓扑成了20世纪最引人注目的数学分支之一,而从代数拓扑学 产生的同调代数为代数学宝库增添了强有力的工具.数论、代数几何由于抽象代 数概念的导入彻底地改变了面貌代数学从与其他数学分支的结合中获得了前 所未有的生命力新概念不断出现,新的代数学分支不断生长数学这棵古老的 常青树从来没有像现在这样枝繁叶茂,生机勃勃 通常人们认为抽象代数很抽象,似乎离现实很远,没有多少用处.其实这是 一种误解.一切科学的抽象不是对现实的背离,而是对现实世界更深刻的反映 科学研究的对象扩大了,它的应用也就更广泛了,代数学也是如此抽象代数不 仅是现代数学不可缺少的组成部分,也是现代物理学、化学、计算机科学、通讯科 学不可缺少的工具.举例来说,有限域理论是抽象代数中相当“抽象”的理论,但 是数字通讯中的编码理论(特别是纠错码)却是以它为基础的因此当我们舒适
2抽象代数学 地聆听CD唱片或是欣赏CD(DVD)数码音像节目时,请记住其中也凝聚着数 学家们的辛劳.今天,有志于在现代数学、现代物理学、计算机科学等领域作出贡 献的年轻人,都应该懂得抽象代数的知识,在人类这一知识宝库中吸取营养,寻 求自己的发展 本书原是编者为复旦大学数学系学生编写的教材,它适用于已修完高等代 数的本科生本书内容按所讨论的代数结构分为4个部分.第一章为预备知识 第二章讨论群,在详细介绍了群、子群、正规子群、商群、同态和同构等基本概念 的基础上,着重介绍了循环群、置换群,介绍了有限群的几个基本定理,如 Sylow 定理等.利用群的直积可以把复杂的群分解为比较简单的群,有限生成Abel群 基本定理就是这一思想的体现,这个定理在代数拓扑学中有重要的应用,我们作 了详细的介绍.群列和可解群是为第四章 Galois理论作准备的第三章介绍环 论.环论,主要是交换环理论,它是代数几何与代数数论的基础.我们除了介绍 环、理想、商环、同态与同构外,还着重介绍了整环及其分式域、唯一分解环和多 项式环.第四章讨论域和 Galois理论.我们首先介绍了各种域扩张及其性质,然 后介绍了 Galois对应和 Galois理论基本定理,这是 Galois理论的核心.运用域 的扩张理论和 galois基本定理,我们给出了一元n次方程可用根式求解的充分 必要条件.我们还讨论了初等几何中尺规作图的可能性问题,如证明了用圆规和 直尺不可能将一个任意角三等分,给出了正n边形可用圆规和直尺作图的充分 必要条件.这些美妙的应用是 Galois理论的辉煌篇章,读者从中可以充分领略 到数学的美.本教程的内容通常分两学期授完,第一学期(每周3节课)讲完群论 和环论两章,第二学期(作为选修)讲完第四章.目录中带*的内容可作为选修. 本书力求深入浅出,对抽象的概念尽量用较多的例子加以说明.为了帮助读 者理解抽象代数习题的解题思路,本书附有书内习题的简答或提示.虽然本书是 在编者多年从事教学的基础上编成的,但不当之处仍然难免,敬请读者和同行专 家批评指正 编者 2005年6月于复旦大学
录 第一章预备知识………… 非非·非非非 §1.1集合… §1.2 Cartesian积 §1.3等价关系与商集 §1.4映射 ·········· §1.5二元运算 §1.6偏序与zorn引l理… 第二章群论 ……………………………………12 §2.1群的概念… §2.2子群及傍集 16 §2.3正规子群与商群 §2.4同态与同构… 26 §2.5循环群…… …32 §2.6置换群 ………………37 §2.7群对集合的作用 §2.8Syow定理 §2.9群的直积 §2.10有限生成Abe群 59 §2.11正规群列与可解群…………………… §2.12低阶有限群 着·,垂 …71 第三章环论…… §3.1基本概念…………… …78 §3.2子环、理想与商环…
2抽象代数学 §3.3环的同态 ……90 §3.4整环、分式域…… 94 §3.5唯一分解环… §36PID与欢氏整区 ……………103 §3.7域上的一元多项式环… 106 §38交换环上的多项式环 …111 §3.9素理想 115 §3.10模… 118 第四章域与 Galois理论 ………………………………125 §4,1域的扩张…………… ……125 §4.2代数扩域…… 非非 ……………………………129 §4.3尺规作图问题………… §4.4分裂域 §4.5可分扩域 ……………143 §4.6正规扩域 ……………148 §4.7 Galois扩域与 Galois对应 ………………151 §4.8有限域………… 159 §4.9分圆域 §4.10一元方程式的根式求解…… 165 §4.11正规基定理… 171 §4.12域的超越扩张 …174 附录I自由群… …179 附录I代数闭域 ……………………182 附录Ⅲ习题简答… ·,,·····,··· 184 参考文献 205