电路学习指导第十七章电路方程的矩阵形式第十七章电路方程的矩阵形式一本章要求1．掌握图、连通图、有向图，树、割集，复合之路概念。2.，列写关联矩阵、回路矩阵与割集矩阵。3.列写节点电压方程的矩阵形式，回路电流方程的矩阵形式。4列写简单电路的状态方程。二 内容提要1．电路的图G：是节点和支路的组合，支路是抽象的线段。1）连通图：两节点简至少有一条路经。2）有向图：图中各支路标出了方向的图。3）子图G1：它的支路及节点都属于图G。2.树T1）是G的子图，2）包含G的所有节点3）不含回路4）连通树支b,是树中所含的支路，连支b,是图G的但不是树T的支路。3.割集Q：是一个支路集合，1）将割集中所有的支路移走，G被分成两部分2）割集中的支路少拿走一条，图G仍连通。4.关键的几个矩阵1）关联矩阵：是描述支路和节点的关系的矩阵。2）割集矩阵：是描述支路和割集的关系的矩阵。3）回路矩阵：是描述支路和回路的关系的矩阵基本割集矩阵：是单树支的割集构成的矩阵。基本回路矩阵：是单连支的回路构成的矩阵5.典型支路如图所示。ik iekZkGkRkYk1Z=3jOLk,YK=joLkNe1LjockjoCk6.回路电流方程矩阵形式：Z,i,=BU.-BZi(17-1)其中：Z,=BZB为回路阻抗阵，Z为支路阻抗阵。B为独立回路阵。7.节点电压方程矩阵形式：Y,U，=Ai.-AYU(17-1)132
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 132 第十七章 电路方程的矩阵形式 一 本章要求 1． 掌握图、连通图、有向图，树、割集，复合之路概念。 2． 列写关联矩阵、回路矩阵与割集矩阵。 3．列写节点电压方程的矩阵形式，回路电流方程的矩阵形式。 4．列写简单电路的状态方程。 二 内容提要 1． 电路的图 G：是节点和支路的组合，支路是抽象的线段。 1〉 连通图：两节点简至少有一条路经。 2〉 有向图：图中各支路标出了方向的图。 3〉 子图 G1：它的支路及节点都属于图 G。 2． 树 T: 1〉是 G 的子图，2〉 包含 G 的所有节点 3〉 不含回路 4〉 连通 树支 t b 是树中所含的支路，连支 l b 是图 G 的但不是树 T 的支路。 3． 割集 Q：是一个支路集合，1〉将割集中所有的支路移走，G 被分成两部分 2〉割集中 的支路少拿走一条，图 G 仍连通。 4． 关键的几个矩阵 1〉 关联矩阵：是描述支路和节点的关系的矩阵。 2〉 割集矩阵：是描述支路和割集的关系的矩阵。 3〉 回路矩阵：是描述支路和回路的关系的矩阵 基本割集矩阵：是单树支的割集构成的矩阵。 基本回路矩阵：是单连支的回路构成的矩阵 5． 典型支路如图所示。 = = k k k k k k k k j C j L G Y j C j L R Z 1 , 1 6． 回路电流方程矩阵形式： l l s s Z I BU BZI = − （17-1） 其中： T Zl = BZB 为回路阻抗阵，Z 为支路阻抗阵。B 为独立回路阵。 7． 节点电压方程矩阵形式： n n s AYUs Y U AI = − （17-1）
电路学习指导第十七章电路方程的矩阵形式其中：Y.=AYAT为回路导纳阵，Y为支路导纳阵。A为关联阵。8.状态方程：对状态变量列出的一解微分方程阻。三例题例17-1已知图17-1（a）所示的图，问17-2（b）、（c）、（d）、（e）是不是G的树(c)(a)d图17-1例17-1图解：(b)是，其余都不是，（c)不连通，（d）少一个节点，（e）有回路。0001-11001-10A:画出有向图。例17-2已知：00-100-1解：在A的最后一行添行：001,则：其对应的图如图17-2。例17-3已知电路如图17-3（a），列写矩阵形式的节点电压方程。节点为参考点。解：1）电路的图G如图17-3（b）选择(3)100000010000.2)U2000100O22000001011+AI, =OTAGU.3) AY1/y0-1214)节点电压方程为：10(2)21(1)1A102O202(3)(3.(4)(b)(a)图17-3例17-3图图17-2例17-2图133
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 133 其中： T Yn = AYA 为回路导纳阵，Y 为支路导纳阵。A 为关联阵。 8．状态方程：对状态变量列出的一解微分方程阻。 三 例题 例 17-1 已知图 17-1（a）所示的图，问 17-2（b）、（c）、(d)、（e）是不是 G 的树。 图 17-1 例 17-1 图 解：(b)是，其余都不是，(c)不连通，（d）少一个节点，（e）有回路。 例 17-2 已知： − − − − − = 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 A ，画出有向图。 解：在 A 的最后一行添一行：0 –1 1 1 0 1， 则：其对应的图如图 17-2。 例 17-3 已知电路如图 17-3（a），列写矩阵形式的节点电压方程。 解：1〉电路的图 G 如图 17-3 （b）选择（3）节点为参考点。 2〉 = = − = − − − = 2 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 , 2 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 1 1 1 1 1 0 0 A Is Us G 3〉 − = = − + + + − = − − − = 1 0 , 0 1 , 2 1 2 1 1 1 1 1 1 , 2 1 2 0 1 1 1 1 0 0 AY Gn AIs AGUs 4〉 节点电压方程为： = − − 1 1 1 2 2 1 2 1 n n U U 。 图 17-2 例 17-2 图 图 17-3 例 17-3 图
电路学习指导第十七章电路方程的矩阵形式例17-4已知电路如图17-4（a），用网络图论法列写节点电压方程（矩阵形式）。解：电路的图G如图17-4(b),选d节点为参考点[-1 10100[i,=[,0000]0-101则：A=10[0, =[00000-j[000-1-100000中[R,0000joMjoL,0000joMjoL,Z=000R40000000Rs000[o0R.J0[1/ R,00000000L, / D-MID0000-M/DL, /D则：Y=000001/ R4000001/ R,000001/ R。joL,-joM-MLsjoM-![joL,-joMjoL,DDL2-MjoL,LjoMjoM其中：joL,L DDJjoMjoL,D= jo(L,L, - M2)[-]L4-M100DDR4R1LM000L3所以：AY=DRsDDDM1-L,-100DR4DRe134
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 134 例 17-4 已知电路如图 17-4（a），用网络图论法列写节点电压方程（矩阵形式）。 解：电路的图 G 如图 17-4 （b），选 d 节点为参考点 则： = − = − − − − = T s s T s s U U I I A 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 = 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 R R R j M j L j L j M R Z 则： − − = 6 5 4 2 3 1 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 1/ 0 0 0 / / 0 0 0 0 / / 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 R R R M D L D L D M D R Y 其中： ( ) 2 2 3 2 3 3 2 2 3 1 3 2 D j L L M D L D M D M D L j M j L j L j M j M j L j L j M j M j L j L j M = − − − = − − = − 所以： − − − + + − − = 4 6 2 5 3 2 4 3 1 1 0 1 0 0 1 0 ( ) 0 0 0 1 1 D R R L D M D R M D L D M D L D R M D L R AY
第十七章电路方程的矩阵形式电路学习指导M1L1L+11D'R.DR4DR,MMML2LL2.L,1Y, =AYAT+2DDDR.DDDDM1（台+兴)1.L2+1从而：DR4DDDR.R6[-i,]-is.0OUAi,=0J00%AYU,=大0sR6R所以：Y,U,=j,RiwmbiwliwL3RL(b)(a)图17-4例17-4图例17-5已知电路如图17-5（a），用网络图论法列写回路方程（矩阵形式）解：电路的图G如图17-5（b）选择1、2、5为树支，则：3、4为连支。0VZ=diag[RR,joL,joL 1/ joC.]B.,i,=[iU.=o-U.00- R,001/ joC,joL,:.B,Z则：回路R200joL4-1/ joC,[R, + joL, +1/ joCs-1/ joC,Z, = BZB'-1/ joCsR, + joL +1/ joC,BZi,={Ri, o′,BU, =[o -U,J,U,=[Ri, -U,]135
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 135 从而： − = − = − = − − + + + − + + + + − + + + − + − = = 6 6 1 1 6 6 4 2 6 2 4 2 5 3 2 3 4 3 4 3 1 , 0 0 0 , 0 0 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 R U I J I AI R U AYU D R L D R M D L D R M D M D L D R M D L D L D M D L D R M D M D L D R L R Y AYA s s n s s s s T n 所以： n n n Y U J = 图 17-4 例 17-4 图 例 17-5 已知电路如图 17-5（a），用网络图论法列写回路方程（矩阵形式）。 解：电路的图 G 如图 17-5（b） 选择 1、2、5 为树支，则：3、4 为连支。 T s l s s T s s T s s T l f T s s T s s f BZI R I BU U U R I U j C R j L j C R j L j C j C Z BZB R j L j C R j L j C B Z U U I I B Z diag R R j L j L j C 1 1 2 1 1 2 5 2 4 5 1 3 5 5 2 4 5 1 3 5 2 1 1 2 3 4 4 0 , 0 , 1/ 1/ 1/ 1/ 0 0 1/ 0 0 1/ 0 0 0 0 , 0 0 0 0 , 1/ 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 = − = − = − − + + + + − = = − − = = − = = − − = 则：回路
电路学习指导第十七章电路方程的矩阵形式方程为：zi,=s,,=[ininjwL41/jwCsRP'simjwL3-(a)(b)图17-5例17-5图例17-6列写图17-6所示电路的状态方程。图17-6例17-6图R1解：用直观法列写方程，则：iLLiH_uc+i,=uc+il1Q1FR2Ic2R,us(t)1120Cuc=-Rii+u,-uc=-uc-4i+uduc1i0-uc+i,dt2C状态方程为图7-6例17-6图dit1ui-2i, +-ue-10dtL2四习题17-1已知电路如图，画出它的有向图，并写出关联阵及增广关联阵。17-2已知拓扑图，写出其基本割集阵与基本回路阵，以1、2、3为树支。C.7题17-1图题17-2图题17-3图17-3已知拓扑图，写出其关联阵与基本回路阵，以4、5、6为树支。136
电路学习指导 第十七章 电路方程的矩阵形式 136 方程为： 1 2 , l sl l l l ZI U I I I = = 图 17-5 例 17-5 图 例 17-6 列写图 17-6 所示电路的状态方程。 图 17-6 例 17-6 图 解：用直观法列写方程，则： = − + − = − − + = − + = − + C L s C C L s L C L C C u R i u u u i u i u i R u i 4 2 1 2 状态方程为: = = − − + = = − + C L s L L C L C C u i u L u dt di u i C i dt du 2 1 2 2 1 2 1 图 7-6 例 17-6 图 四 习题 17-1 已知电路如图，画出它的有向图，并写出关联阵及增广关联阵。 17-2 已知拓扑图，写出其基本割集阵与基本回路阵，以 1、2、3 为树支。 题 17-1 图 题 17-2 图 题 17-3 图 17-3 已知拓扑图，写出其关联阵与基本回路阵，以 4、5、6 为树支