电路习题集第十四章二阶电路第十四章二阶电路一本章要求1.会建立二阶电路的微分方程；计算二阶电路的零输入响应。2.掌握振荡、临界振荡与非振荡的概念。二内容提要1.二阶电路的零输入响应：换路后没有级里，换路前有初始储能，对RLC串联电路，描Lcd'uc++ RC dlc + ulc = 0.述电路的方程为：Ldt?dt与电路结构参数相关的两个特征根为：RR、112P,2LLC2L1(14-1)RR1Pi =2L2LLCuc=Aepr+A,eP(14-2)A1,A2由初始条件：uc(0.）=uc(0_),i(0.)=i(0_)所决定。L当R>2二时，1Pi,Pz为两个不想等的实根，uc为非振荡放电过程。NCL当R<2.二时，Pi,P,为一对共轭根，uc为振荡放电过程。VcLR当R=2,时，P=P2uc为非振荡的临界情况。VC2L2．二阶电路的零状态响应：换路后有电源，换路前无初始储能3.二阶电路的阶跃响应：在单位阶跃函数激励下的零状态响应。4．二阶电路的冲激响应：在单位冲激函数激励下的零状态响应。三例题：例14-1图141所示的电路中，uc(0_）=U。=10V,R=40002L=1H,C=1μuF，t=0时，s闭合，求：s闭合后，uc，ur，i,uL。113
电路习题集 第十四章 二阶电路 113 第十四章 二阶电路 一 本章要求 1．会建立二阶电路的微分方程；计算二阶电路的零输入响应。 2．掌握振荡、临界振荡与非振荡的概念。 二 内容提要 1．二阶电路的零输入响应：换路后没有级里，换路前有初始储能，对 RLC 串联电路，描 述电路的方程为： 0 2 2 + + C = C C u dt du RC dt d u LC 。 与电路结构参数相关的两个特征根为： = − − − = − + − L LC R L R p L LC R L R p 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 2 1 2 1 （14-1） p t p t C u A e A e 1 2 = 1 + 2 （14-2） A1,A2 由初始条件： (0 ) (0 ), (0 ) (0 ) C + = C − L + = L − u u i i 所决定。 当 C L R 2 时， 1 2 p , p 为两个不想等的实根， C u 为非振荡放电过程。 当 C L R 2 时， 1 2 p , p 为一对共轭根， C u 为振荡放电过程。 当 C L R = 2 时， L R p p 2 1 = 2 = − ， C u 为非振荡的临界情况。 2．二阶电路的零状态响应：换路后有电源，换路前无初始储能 3．二阶电路的阶跃响应：在单位阶跃函数激励下的零状态响应。 4．二阶电路的冲激响应：在单位冲激函数激励下的零状态响应。 三 例题： 例 14-1 图 14-1 所示的电路中， uC (0− ) = U0 =10V,R = 4000, L =1H,C =1F ，t=0 时，s 闭合，求：s 闭合后， C R uL u ,u ,i,
电路习题集第十四章二阶电路L2000<4000=R，uc为非振荡放电过程。由（14-1）式有：解V10-6P =-2000+V20002-106=-268,P2=2000-/20002-10%=-3732由(14-2)uc = A,e-268 + A,e-3732式有：cduc =-C(APlef + A Pep)idt因为uc(0.)=uc(0_)=10V,i,(0.)=i,(0_)=0A +A, =10p,U。P,U。= 10.774, A, = -:A-0.774所以[AP, +AP, = 0"P2-PlP2 - Piuc =10.774e-268r 0.774e-3732V,3732ti= 2.89(e-268r)mA从而u=ldi=10.774e-3732 -0.774e-268rydtUR = Ri=11.55(e-268e-3732)VR1si(t)URis(t)3ur(t)CTuc(t)cuc13ur(t)14-1图14-3图例14-2图14-1所示的电路中，电路原来已达到稳态，t=0时，s打开，已知：Us=100V，R。=1KQ，求：在下面几种情况下的uc，i。1>L=10HC=100uF2>L=10H.C=10uF3>L=25HC=100uF4R.R.Uc(o.)SLyUs4ififi(o.)u(t)Tuc（t)RIRR(a)(c)(b)14-2图114
电路习题集 第十四章 二阶电路 114 解： R C L = = = − 2000 4000 10 1 2 2 6 ， C u 为非振荡放电过程。由（14-1）式有： 2000 2000 10 268, 2000 2000 10 3732 2 6 2 2 6 p1 = − + − = − p = − − − = − 由（14-2） 式有： ( ) , 1 2 1 1 2 2 3732 2 268 1 C p t p t t t C C A p e A p e dt du i C u A e A e = − = − + = + − − 因为 uC (0+ ) = uC (0− ) =10V,i L (0+ ) = i L (0− ) = 0 所以 , 10.774, 0.774 0 10 2 1 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 2 2 1 2 = − − = = − − = + = + = p p p U A p p p U A A p A p A A 从而 u Ri e e V e e V dt di u L i e e mA u e e V t t R t t L t t t t C 11.55( ) 10.774 0.774 2.89( ) 10.774 0.774 , 268 3732 3732 268 268 3732 268 3732 − − − − − − − − = = − = = − = − = − 14-1 图 14-3 图 例 14-2 图 14-1 所示的电路中，电路原来已达到稳态，t=0 时，s 打开，已知： Us =100V,R0 =1K ，求：在下面几种情况下的 u i C , 。 1 L = 10H,C = 100F,2 L = 10H,C = 10F,3 L = 25H,C = 100F 14-2 图
电路习题集第十四章二阶电路解：电路的0_等效电路如图14-2（b），U.U,R= 50V,i,(0)=i,(0_)=0.05Auc(0,)=uc(0_)=R,+RR。+R当s打开后，电路成为RLC串联电路，如图14-2（c）由（14-1）式有：1>P,=50+/2500-1000=-11.27,p,=-50/25001000=88.73由（14-2）式c = A,e-11271 + A,e-88.73有：-cduc =-C(A,Plet + A-Pep)=dt[A + A, = 50所以(-C(4P + A,P,)= 0.05s* A4 = 50.82,4, =-0.8198c = 50.82e127 0.8198873从而i = 57.27e-11-7 ~ 7.27e-8.73 mA2>p,=-50+j86.5,pz=-50-j86.5,8=50,=86.5由（14-2）式有：uc = Ae-" sin(ot +0)duc= -CAe-[-8 sin(at + 0)+ cos(ot +0)]i=dt1= 0, 时, "c(0.)=50= Asi 0.1;(0.)= 0.05= -10~ 4L-50 in 0 + 6.6cos 0).A=57.74,0=1200uc = 57.74e-50'r sin( 86.6t +120°)V,所以i=e-50r[0.02887sin(86.6t+120°)-0.05cos(86.6t+120°)]uc =(A+ Bt)e-d3）p,=P2=-20由（14-2）式有：C dlc =-CBe-8 +C8(A+ BI)e-8-dtt=0时,A=50,10-(20A-B)=0.05→A=50,B=500所以uc = (50 + 500t)e-20V,i=(0.05 +t)e-20t A115
电路习题集 第十四章 二阶电路 115 解：电路的 − 0 等效电路如图 14-2（b）, A R R U V i i R R U R u u s L L s C (0 ) C (0 ) 50 , (0 ) (0 ) 0.05 0 0 = + = = = + + = − = + − 当 s 打开后，电路成为 RLC 串联电路，如图 14-2（c）由（14-1）式有： 1> p1 = −50 + 2500 −1000 = −11.27, p2 = −50 − 2500 −1000 = −88.73 由（14-2）式 有： ( ) , 1 2 1 1 2 2 88.73 2 11.27 1 C p t p t t t C C A p e A p e dt du i C u A e A e = − = − + = + − − 所以 , 50.82, 0.8198 ( ) 0.05 50 1 2 1 1 2 2 1 2 = = − − + = + = A A C A p A p A A 从而 i e e mA u e e V t t t t C 11.27 88.73 11.27 88.73 57.27 7.27 50.82 0.8198 , − − − − = − = − 2> p1 = −50 + j86.5, p2 = −50 − j86.5, = 50, = 86.5 由（14-2）式有： [ sin( ) cos( )] sin( ) = − = − − + + + = + − − CAe t t dt du i C u Ae t C t t C = 0+ t 时， 0 5 57.74, 120 (0 ) 50 sin , (0 ) 0.05 10 [ 50sin 86.6cos ] = = = = = = − − + − + + A uC A i L A 所以 [0.02887sin( 86.6 120 ) 0.05cos(86.6 120 )] 57.74 sin( 86.6 120 ) , 50 0 0 50 0 = + − + = + − − i e t t u e t V t t C 3〉 p1 = p2 = −20 由（14-2）式有： C t t t C CBe C A Bt e dt du i C u A Bt e − − − = − = − + + = + ( ) ( ) = 0+ t 时， 50,10 (20 ) 0.05 50, 500 4 = − = → = = − A A B A B 所以 u t e V i t e A t t C 20 20 (50 500 ) , (0.05 ) − − = + = +
电路习题集第十四章二阶电路例14-3在图14-3所示的电路中，uc(0_）=0,(0.）=0，t=0时，s打开，已知：i，=1A,G=2×10-3S,C=1μF,L=1H，求：阶跃响应uc,i[1,t > 0解：s在0时打开，使i=&(t)=[0.1<0，所以s打开后的响应为解跃响应。列写方程有：Lcdi+Gc岁+i=is，特征方程：p?+%p1sp+CLCdt?dt则：P=P2=p=-103为二重根，所以对应与方程的齐次解为：i=(A,+A,t)ep，然而，对应的特解为：i=1Ai,=1+(4 +A,n)e"→=A,pe+Age" +Atendt而uc(0)=uc(0_)=(0)=0(0)=i(0)=01+A=0=i,(0)[A, = -1于是：di[A, = -10-3+A=010°A.dti, =[1-(1+10*1)e-10'" Je(0)4,所以c==10e-0g(0dt四习题14-1电路如图14-1，已知：uc(0_）=1VC=1F,L=1H,R=42，t=0时，s闭合，求电路的零输入响应uc,i14-2在14-1题中，其他参数及初始条件都不变，求：1）R=2,2>R=123>R=0三种情况下的零输入响应uc,i。14-3s打开前电路已稳定，t=0时，s打开，求uc。14-4电路如图141已知：C=2μF,L=2.5HR=1KQ，uc（0_）=10V，t=0时，s闭116
电路习题集 第十四章 二阶电路 116 例 14-3 在图 14-3 所示的电路中， uC (0− ) = 0,i L (0− ) = 0 ，t=0 时，s 打开，已知： i s 1A,G 2 10 S,C 1 F, L 1H 3 = = = = − ，求：阶跃响应 C L u ,i 。 解：s 在 0 时打开，使 = = 0, 0 1, 0 ( ) t t i t s ，所以 s 打开后的响应为解跃响应。 列写方程有： L S L L i i dt di GC dt d i LC + + = 2 2 ，特征方程： 0 2 1 + + = LC p C G p 则： 3 p1 = p2 = p = −10 为二重根，所以对应与方程的齐次解为： pt L i (A A t)e = 1 + 2 ， 然而，对应的特解为： i L =1A pt L pt pt pt L A pe A e A te dt di i A A t e 1 2 1 2 2 =1+ ( + ) → = + + 而 uC (0+ ) = uC (0− ) = uL (0+ ) = 0,i L (0+ ) = i L (0− ) = 0 于是： = − = − → − + = = + = = − + + 3 2 1 1 2 0 3 1 10 1 10 0 | 1 0 (0 ) A A dt di A A A i L L 所以 te t V dt di u u L i t e t A L t C L t L 10 ( ) [1 (1 10 ) ] ( ) , 3 3 6 10 3 10 − − = = = = − + 四 习题 14-1 电路如图 14-1，已知： uC (0− ) = 1V C = 1F, L = 1H,R = 4，t=0 时，s 闭合，求： 电路的零输入响应 u i C , 。 14-2 在 14-1 题中，其他参数及初始条件都不变，求：1〉 R = 2 ,2> R =1 3> R = 0 三种情况下的零输入响应 u i C , 。 14-3 s 打开前电路已稳定，t=0 时，s 打开，求 C u 。 14-4 电路如图 14-1,已知： C = 2F, L = 2.5H, R = 1K ，uC (0− ) =10V ，t=0 时，s 闭
电路习题集第十四章二阶电路合求：uc,i,u,。14-5已知：uc(0.）=1V,i,(0,)=2A，求t）0时，的i。14-6已知：U，=10V,C=1uF,L=1H,R=4KQ，t=0时，s合向2（、s在1处已久）求uci,ur。?i(t)50Uz+30.5HD50V100uF+ucu.(t)JUsC[ue(t) 13u(t)c1.5s1H2000.5F2J50题14-3图题14-5图题14-6图117
电路习题集 第十四章 二阶电路 117 合求： C uL u ,i, 。 14-5 已知： uC (0+ ) =1V,i L (0+ ) = 2A ，求 t〉0 时，的 L i 。 14-6 已知： Us =10V,C =1F, L =1H,R = 4K，t=0 时，s 合向 2（、s 在 1 处已久） 求： C uR u ,i, 。 题 14-3 图 题 14-5 图 题 14-6 图