二分法小结 什么时候停止? x1-x<61或f(x)<2
二分法小结 a b x1 x2 a b 什么时候停止? 1 1 x x ε k+ − k 2 或 f (x) ε x*
62迭代法 、不动点迭代法 对于连续函数f(x),将非线性方程f(x)=0 转化为如下等价的方程x=p(x) 例2方程f(x)=x-snx-0.5=0可转化为不同的等价方程 ①x=snx+0.5≡g1(x), ②x=acsn(x-0.5)≡g2(x)
对于连续函数 f (x) ,将非线性方程 f (x) = 0 转化为如下等价的方程 x = (x) (6.4) 例 2 方程 f (x) = x − sin x − 0.5 = 0可转化为不同的等价方程 ① sin 0.5 ( ) 1 x = x + g x ， ② arcsin( 0.5) ( ) 2 x = x − g x . 一、不动点迭代法 6.2 迭代法
若要求x满足∫(x)=0,则x"=φ(x);反之亦然 x为函数q(x)的一个不动点 求∫(x)的零点就等价于求(x)的不动点 如何求? 求函数p(x)的不动点,一般采用迭代法
若要求 x 满足 ( ) = 0 f x ，则 ( ) x = x ；反之亦然. x 为函数 (x) 的一个不动点. 求 f (x) 的零点就等价于求(x) 的不动点. 如何求？ 求函数(x) 的不动点，一般采用迭代法
基本思 对等价方程x=(x),从方程根的一个初始近似值x出发, 通过计算x1=0(x)(k=0,1,2,…)(6.5)构造序列{x} 如果9(x)连续且序列{xk}收敛于x,则知x’为等价方程的根 这种求方程近似根的方法称为简单迭代法或不动点迭代法 其中φ(x)称为选代函数,(65)式称为选代公式或选代过程 如果由选代法产生的序列{xk}有极限存在,则称序列{x}收敛 或称迭代过程(65)收敛否则称{xk}不收敛
对等价方程 x = (x) ，从方程根的一个初始近似值 0 x 出发， 通过计算 ( ) k 1 k x = x + (k = 0,1,2, ) (6.5) 构造序列xk . 如果(x) 连续且序列xk 收敛于 x ，则知 x 为等价方程的根. 这种求方程近似根的方法称为简单迭代法或不动点迭代法. 其中 (x) 称为迭代函数，（6.5）式称为迭代公式或迭代过程. 如果由迭代法产生的序列xk 有极限存在，则称序列xk 收敛 或称迭代过程（6.5）收敛. 否则称xk 不收敛. 基本思想
例3.用迭代法求解方程2x3-x-1=0 解:(1)将原方程化为等价方程x=2x3-1 如果取初值x。=0,由迭代法得 2x3-1=-1 x2=2x1-1=-3显然迭代法发散 2x3-1=-55
例3. 2 1 0 3 用迭代法求解方程 x − x − = 2 1 3 解： (1) 将原方程化为等价方程 x = x − 如果取初值x0 = 0,由迭代法得 2 1 3 x1 = x0 − = −1 2 1 3 x2 = x1 − = −3 2 1 3 x3 = x2 − = −55 x0 = 0 显然迭代法发散