x (2)如果将原方程化为等价方程x=W 2 仍取初值x0=0 Xo H 0 2=V2≈0.7937 x1+1 7937 ≈09644 2 依此类推,得X2=0.9644 同样的方程 X3=0.9940 不同的迭代格式 x4=0.9990 有不同的结果 X5=09998 X6=1.0000 与迭代函数的构造有关 X7=1.0000 己经收敛,故原方程的解为 什么形式的迭代法 能够收敛呢? x=1.0000
x0 = 0 3 0 1 2 + 1 = x x 仍取初值 3 2 1 = 0.7937 3 1 2 2 + 1 = x x 3 2 1.7937 = 0.9644 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 依此类推,得 已经收敛,故原方程的解为 x = 1.0000 同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果 什么形式的迭代法 能够收敛呢? 与迭代函数的构造有关 (2) 如果将原方程化为等价方程 3 2 + 1 = x x
二、迭代法的几何意义 收敛 de x1 Er lp'(x) (a)0<q'x)<1 (b)-1<g'(x)<0 发散 (c)g'(x)>1 (d)g'(x)=-1
收敛 发散 二、迭代法的几何意义 (x) 1 (x) 1
、迭代法收敛的条件 定理6.1设(x)在[a,b上连续,且满足 ①当x∈[a,b时,有(x)∈[a,b]; ②存在常数L∈(0,1),使得对任意x,y∈[a,b都有 (x)-o(y)≤Lx-y 则((x)在[a,b上有惟一的不动点x 证存在性、唯一性P.134
定理 6.1 设(x) 在 [a,b] 上连续，且满足 ① 当 x [a,b] 时，有 (x)[a,b] ； ② 存在常数 L (0,1)，使得对任意 x, y [a,b]都有 (x) −(y) L x − y . 则 (x) 在 [a,b] 上有惟一的不动点 x . 证 存在性、唯一性 P.134 三、迭代法收敛的条件
定理6.1证明 存在性若(a)=a或(b)=b,显然(x)在{,b上存在不动点 由条件①,以下设(a)>a及(b)<b,定义函数∫(x)=0(x)-x 显然f(x)∈C[a,b,且f(a)f(b)<0,由零点存在定理可知 存在x'∈(a,b)使∫(x")=0,即x=0(x),x即为o(x)的不动点 唯一性假设x及x2∈[ab]都是(x)的不动点, 由(6.6)式得 x2|=1(x)-9(x2)≤Lx-x2|<x-x2矛盾 故q(x)的不动点是唯一的
定理 6.1 证明 唯一性. 假设 1 x 及 [ , ] x2 a b 都是 (x) 的不动点， 由（6.6）式得( ) ( ) 1 2 1 2 x − x = x − x 1 − 2 L x x 1 − 2 x x 矛盾. 故(x) 的不动点是唯一的. 存在性. 若 (a) = a 或 (b) = b ，显然 (x) 在 [a,b] 上存在不动点. 由条件①，以下设(a) a 及(b) b ，定义函数 f (x) =(x) − x 显然 f (x) C[a,b]，且 f (a) f (b) 0，由零点存在定理可知 存在 x (a,b) 使 ( ) = 0 f x ,即 ( ) x = x ， x 即为(x) 的不动点
定理62设卯(x)∈C[a,b]满足定理61中的两个条件,则对任意 选取初始值xo∈[a,b,选代过程xk+1=(xk)(k=0,…)收敛到 (x)的不动点,即imxk=x;并有 误差估计x-xk≤,x1-x,(k=12…) 证P.134-135
定理 6.2 设 (x)C[a,b] 满足定理 6.1 中的两个条件，则对任意 选取初始值 [ , ] x0 a b ，迭代过程 ( ) k 1 k x = x + (k = 0,1, ) 收敛到 (x) 的不动点，即 → x = x k k lim ；并有 误差估计 1 0 1 x x L L x x k k − − − ，(k = 1,2, ). 证 P.134-135