f(x)=0(6.1) 分法 不妨设方程(6.1)在[a,b内仅有一个实根 设E为预先给定的精度要求。 atb ①令x 2’计算f(x0); ②如果f(x)=0,则x0是f(x)=0的根,停止计算,输出结果5=x0; 如果f(a)f(x0)<0,令a1=a,b1=x,否则令a1=x,b1=b ③如果b-ak≤E,则输出结果%k+b2 ,停机; 2 否则,返回①,并重复①,②,③步
设 为预先给定的精度要求。 ① 令 2 0 a b x + = ，计算 ( ) 0 f x ； ② 如果 f (x0 ) = 0 ，则 0 x 是 f (x) = 0的根，停止计算，输出结果 0 = x ； 如果 f (a) f (x0 ) 0，令 1 1 0 a = a,b = x ，否则令a1 = x0 ,b1 = b ； ③ 如果 − bk ak ，则输出结果 2 ak + bk ，停机； 否则，返回①，并重复①，②，③步。 二、二分法 f (x) = 0 (6.1) 不妨设方程（6.1）在[a,b]内仅有一个实根
以上方法可得到每次缩小一半的含根区间序列: a12b1][a2b2]…[ak,b]→… 且满足(1)f(ak)f(bk)<0,即5∈[ak,bk (b-a) 2 当区间长度很小时,取其中点xk=(ak+b)/2为根的近似值 显然有 总之,由上述二分法得到一个序列{xk},由式(62)有mxk=5
以上方法可得到每次缩小一半的含根区间序列： [ , ] [ , ] a1 b1 a2 b2 ... [ak ,bk ] 且满足(1) f (ak ) f (bk ) 0 ， 即 [ , ] ak bk ； (2) ( ) 2 1 1 b a b a k k k − = − − . 当区间长度很小时，取其中点 xk = (ak + bk )/ 2 为根的近似值. 显然有 ( ) 2 1 2 b a b a x k k k k = − − − （6.2） 总之，由上述二分法得到一个序列{ }k x ，由式（6.2）有 = → k k lim x
注:①分半次数k可取为大于 In(b-a)-hn a 的最小整数 In 2 ②二分法的优点:方法简单,且对只要求函数∫(x)连续即可 例1用二分法求f(x)=x0-x-1=0在[1,2]内的一个实根 且要求精确到小数后第3位. 解由E=05×103和公式(63)如b-a)-hE In 2 可确定所需分半次数k=11 计算结果如表61
注：①分半次数k 可取为大于 ln 2 ln( b − a) − ln 的最小整数. ②二分法的优点:方法简单，且对只要求函数 f (x) 连续即可. 例 1 用二分法求 ( ) 1 0 6 f x = x − x − = 在[1,2]内的一个实根， 且要求精确到小数后第 3 位. 解 由 3 0.5 10− = 和公式（6.3） ln 2 ln( − ) − ln b a k 可确定所需分半次数k =11. 计算结果如表 6.1
表61计算结果 k k f(xu) 1.0 2.0 1.5 8.890625 1.25 564697 123456789 1.0 1.25 1.125 0.097713 1.125 1.25 1.1875 0.616653 1.125 1.1875 1.15625 0.233269 1.125 1.15625 1.140625 0.0615778 1.125 1.140625 1.132813 0.0195756 1.132813 1.140625 1.136719 0.0206190 1.132813 1.136719 1.134766 4307×10- 101.132813 1.134766 1.133789 0.00959799 1.133789 1.134766 1.134277 -0.0045915
k k a k b k x ( ) k f x 1 1.0 2.0 1.5 8.890625 2 1.0 1.5 1.25 1.564697 3 1.0 1.25 1.125 -0.097713 4 1.125 1.25 1.1875 0.616653 5 1.125 1.1875 1.15625 0.233269 6 1.125 1.15625 1.140625 0.0615778 7 1.125 1.140625 1.132813 −0.0 195756 8 1.132813 1.140625 1.136719 0.0206190 9 1.132813 1.136719 1.134766 4.307 4 10− 10 1.132813 1.134766 1.133789 −0.00959799 11 1.133789 1.134766 1.134277 −0.0045915 表 6.1 计算结果
二分法 优缺点? ①优点:方法简单,且只要求函数∫(x)连续 ②缺点:不能求复根及偶数重根 举例说明 个方程有偶数重根,但不能用二分法求出该重实根 例:方程∫(x)=(x-1)(x-2)=0在[0,3]内有重根x=1, 但不能由二分法求出
①优点:方法简单，且只要求函数 f (x) 连续. 二分法 优缺点? ②缺点:不能求复根及偶数重根. 举例说明: 一个方程有偶数重根，但不能用二分法求出该重实根. 例：方程 2 f x x x ( ) ( 1) ( 2) 0 = − − = 在[0,3]内有重根 x =1, 但不能由二分法求出