《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十章 球函数

母函数的应用 u(x,r) P1( 1-2〃x+ r)=∑P(1) ∑ (-1,r)=∑P(-1) ∑(-1) (-1)=(-1) P(O)r (-1)(2k-1)!.2k (2k)! (-1)2(2k-1) L=2k )!=2.46…(2k) P1(0) (2k)! l=2k+1 (2k-1)!=135…(2k-1)

母函数的应用 0 2 1 2 1 ( , ) ( ) rx r u x r P x r l l − + = =  (1) 1 1 1 (1, ) (1) 0 0 =  = − =  =    l l l l r P r u r P r l l l l l l r P r u r P r ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1, ) ( 1) 0 0 = −  − = − + − =  − =        − − = + = = 0 2 0 2 (2 )!! ( 1) (2 1)!! 1 1 (0, ) (0) k k l l r k k r u r P r     = + =  = − − 0, 2 1 , 2 (0) (2 )!! ( 1) (2 1)!! l k l k P k k l k 0!! ( 1)!! 1 (2 1)!! 1 3 5 (2 1) (2 )!! 2 4 6 (2 ) = − = − =   − =   k k k k  

基本递推公式 (k+1)/R+1(x)=(2k+1)xBk(x)-kB-1(x) +1'(x)=(k+1)R(x)+xP'(x) kP(x=xPk(x)-Pk(x) (x--lpk(x)=kxp(x)-kik-(x) k∞0(x)=0

基本递推公式 ( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) 1 1 k P x k xP x k P x + k+ = + k − k− '( ) ( 1) ( ) '( ) 1 P x k P x xP x k+ = + k + k ( ) '( ) '( ) k Pk x = xPk x − Pk−1 x ( 1) '( ) ( ) ( ) 1 2 x P x kxP x k P x − k = k − k− Pk0 (x) = 0

递推公式的让明 u(x,)=∑P(x)y 2rx+r (xr)=>0(x)2 l-1 2rx+p2)3/2 (x-r)∑。P(x) 1(x-r)(1-2rx+r 1-2x+r2)32=(1-2x+r2)>P-1 ∑y-nr∑n2-2n+1mr xPk -Pki=(k+1)Pk+-2kxp+(k-1)PA (k+1)Pk+1-(2k+1)xBk+kPRk-1=0

递推公式的证明 0 2 1 2 1 ( , ) ( ) rx r u x r P x r l l − + =  =  0 2 3/ 2 1 (1 2 ) ( , ) ( ) rx r x r u x r P x lr l r l − + − = =  −     − = − + − + − − + − = 0 2 1 2 3/ 2 2 0 (1 2 ) ( ) (1 2 ) )(1 2 ) ( ) ( ) l l l l rx r P x lr rx r x r rx r x r P x r （        +  − + − = − + 0 1 1 0 1 2 l l l l l l l l l l xP r P r lP r lxP r lP r 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) k − k− = + k+ − k + − Pk− xP P k P kxP k (k +1)Pk+1 −(2k +1)xPk + kPk−1 = 0

递推公式的应用 (k+1)/R+1(x)=(2k+1)xBk(x)-kfR-1(x) k=0→R(x)=x0(x)-0=x k=1→2P(x)=3xB1(x)-B0(x)=3x2-1 k=2→3(x)=5x2(x)-2P(x)=5x

递推公式的应用 ( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ) 1 1 k P x k xP x k P x + k+ = + k − k− k = 0  P (x) = xP (x) −0 = x 1 0 1 2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 1 2 k =  P2 x = xP1 x − P0 x = x − k P x xP x P x x x 2 3 9 2 1 5 3 2 1 = 2 3 ( ) = 5 ( ) − 2 ( ) = −

勒让德多项式的性质 ◆奇偶性 P(x)=(-1)P(x) ◆零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式,有L个零点 正交性 正交性公式 模 正交性应用例题 ◆完备性 完备性公式 广义傅立叶系数 备性应用例题

勒让德多项式的性质  奇偶性 Pl (-x) = (-1)l Pl (x)  零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。  正交性 – 正交性公式 – 模 – 正交性应用例题  完备性 – 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题