《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十章 球函数

勒让德多项式的代数表达式 P(x) (-1)(21-2k)!2k1a 2k!(l-k)(l-2k)! 2l dx P(x)=x=cose P(x)=2(3x2-1)=4(3cos20+1) (x)=4(5x3-3x)=cos3O+3cos0) P4(x)=3(35x4-30x2+5)8/35c0s40+20c026+9)

勒让德多项式的代数表达式 ( ) (35 30 3) (35cos4 20 cos2 9) ( ) (5 3 ) (5cos3 3cos ) ( ) (3 1) (3cos2 1) ( ) cos ( ) 1 6 4 4 2 1 8 1 4 8 3 1 2 1 3 4 2 1 2 1 2 1 0 = − + = + + = − = + = − = + = = =       P x x x P x x x P x x P x x P x l l l l l k l k l x dx d l x k l k l k l k P x ( 1) 2 ! 1 2 !( )!( 2 )! ( 1) (2 2 )! ( ) 2 2 = − − − − − =  −

物让德多项式的图象 1.5 0.51 1-0.5 0.51 0000 0.5 1-050.20.51

勒让德多项式的图象

勒 让德 0.8 0.6 多项式的图 0.4 0.2 0.2 象 -0.2

勒让德多项式的图象

母函数和递推公式 ◆母函数 定义:u(x,r)=∑P(x)rl 形式:u(x,r)=(1-2rx+r2)12 推导 应用 ◆递推公式 基本递推公式 证明 应用

母函数和递推公式 母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 ) -1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用

母函数的推导 u(x,r) PCr i(r,I l+1 d 1)r 21( 2求女 2(=-x)奇点 25 (1±√1-2xr+r2) (二-x)-(=2-1)r 2 2元i I-Er 1-2xr+I

母函数的推导   = 0 ( , ) ( ) l l u x r P x r    + − − = 0 1 2 ( ) ( 1) 2 1 2 1 ( , ) l C l l l dz r z x z i u x r     − − − = 0 2 2 ( ) ( 1) 2 1 l l l l C z x z r z x dz i 2( ) ( 1) 1 1 2 2 1 z x C z x z r dz i − − −  − =  z x z r dz 2 i C ( ) ( 1) 1 2 2 1 − − − =   2 1 2 1 | 1 1 2 2 1 xr r zr i i z z − + = − = = −   (1 1 2 ) 1 2 xr r r z =  − + 奇点：