《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）第五章 傅里叶变换 5.1 傅里叶级数 5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 5.3 δ-函数

f(cos kIs k ∫ao+∑{acos k L+b. sinTx Z xX cos kre dE hIs CoS 了os knx COS ds+ +△∫ 6. sin i coS nIS knox kcos2k丌x k k 1+cOs 2 S, 2

0 1 0 1 1 2 1 ( ) cos 1 [ { cos sin }]cos 1 cos 1 cos cos 1 sin cos 1 1 1 cos [1 cos 2 2 l k l k l k k l k k l l k l k l k k l k l k k l k k l k k k a f d l l k x k x k a a b d l l l l k a d l l k x n a d l l l k x n b d l l l k x k x a d a l l l l                          −  − = −  − =  − = − = = = + + = + + + = = +          ] 1 1 1 2 2 2 l l l k k k l k k k d l a a d a l l      − − = = = =  

其中6= ∫2(k=0) 此为傅里叶系数 (k≠0 此外,三角函数族还有完备性,即这个函数族足 够展开任何周期函数。 狄里希利定理 函数和级数并不完全是一个东西,例如幂级数就 有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下 完全一致 若函数f(z)满足条件(1)处处连续,或在每个周 期内只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期内只 有有限个极值点,则三角级数(5.1.3)收敛,且

此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足 够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就 有收敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下 完全一致 狄里希利定理 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周 期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只 有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且 其中     = = 1 ( 0) 2 ( 0) k k  k

f(x) (在连续点x) (5.1.3) f(x+0)+f(x-0)}(在间断点x) 例交流电压E(1)= Eo sin Ot经过半波整流后的傅立 叶级数。 2兀 0 解周期为 E(t)= "o Sin t [O

    + + − = { ( 0) ( 0)}. ( ) 2 1 ( ), ( ) (5.1.3) f x f x x f x x 在间断点 在连续点 例 交流电压 经过半波整流后的傅立 叶级数。 E(t) E sin t = 0 解 周期为  2      − = sin [0, ] 0 [ ,0] ( ) 0      E t E t -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1

E(t)=ao+>ak cos kat+bk sin katy k=1 E odt+ E sin tdt E sin tdt 2丌 loE E sin ot cos kott=o[sin(1+k)ot+sin(1-k)otdt 2丌 E E sin 2otdt= 0- cos 2ot o=0 4丌 Ed Isin(1+k)ot +sin(1-kotdt 丌 1+k 1-k k=2n+1 Eor cos(1+ k )ot cos(l-kotlxlo Eor 2E 2丌 1+k 1-k 2丌1+k1+k1-k1-k k=2n l1-(2n)2]r

  = = + + −             / 0 0 / 0 0 [sin(1 ) sin(1 ) 2 sin cos 1 k t k tdt E a E t k tdt k cos 2 0, 4 sin 2 2 / 0 0 / 0 0 1 = = − =           t E tdt E a      = − = + = − + − − − + + + − = − − − − + + − = + + − + −  2 . [1 (2 ) ] 2 0 2 1 ] 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) [ 2 ] 1 cos(1 ) 1 cos(1 ) [ 2 [sin(1 ) sin(1 ) 2 2 0 1 1 / 0 0 0 / 0 0 k n n E k n k k k k E k k t k E k t k t k tdt E a k k k              ( ) { cos sin } . 1 0 E t a a k t b k t k  k  k   = = + + , 2 sin 2 [ 0 sin ] 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 0 0              E a = dt + E tdt = E tdt = −  

2 和b=0 eo Eox n 2E sin ot a∑ cos 2not xh-1-(2n) 频谱 各个频率分量的幅度 幅度 E 2E 丌 15丌 35丌 0 2a 40 60 频率

, 2 0 1 E b = 和 = 0 k b cos 2 . 1 (2 ) 2 1 sin 2 ( ) 1 2 0 0 0   = − = + + n n t n E t E E E t     频谱 各个频率分量的幅度 0 频率  2 4 6  E0 幅度 3 2E0 35 2E0 15 2E0 2 E0