结论 当点P以任意方向趋向于P时,函数 趋于同一确定的值,则函数极限存 在 如点P沿不同的路径趋于点P时,函 数趋向于不同的值,则函数的极限 不存在
结论 当点P以任意方向趋向于P0时，函数 趋于同一确定 的值，则函数极限存 在。 如点P沿不同的路径趋于点P0时，函 数趋 向于不同的值，则函数的极限 不存在
x2+y2≠0 例4f(x,)={x2+y2 x-十 研究极限im∫(x,y) J少→≯0 解沿直线y=kx趋于0,有 x·(kr k 2 2 0x2+(k 1+k2 y=lx->0 y=hx0 a)2 当k取不同的值时,即沿桐方向趋于0 时,得到不同的值,故限不存在 注:当沿轴或y轴趋于0时,得到相同的值 但极限并不存在
解 ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 2 0 0 0 lim lim x x 1 y kx y kx y kx x y k x kx x y k x kx → → = → = → = = = + + + 沿直线 趋于 ，有 ( ) ( ) 例4 研究极限 . 2 2 2 2 2 2 0 0 , 0, , 0, 0. lim , x y xy x y f x y x y x y f x y → → + = + + = . 0 时，得到不同的值，故极限不存在 当k取不同的值时，即沿不同方向趋于 . 0 但极限并不存在 注：当沿x轴 或y轴趋于 时，得到相同的值
例5设(x,y)=(x2+y2)sin=2( x2+y2≠0 十 求证Iim∫(x,y)=0 证x2+y2)sin 0 r t y 2 x+y|·Sin ≤|x+y r ty B>0,取=√,则当 0<(x-0)+(y-0)<d 时,有 x+y sin- 0<E 证毕
( ) ( ) ( ) ( ) 例5 设 求证 2 2 2 2 2 2 00 1 , sin 0 lim , 0. xy f x y x y x y x y f x y →→ = + + + = 2 2 2 2 1 sin x y x y + = + ( ) 2 2 2 2 1 x y sin 0 x y + − + 2 2 + x y 证 ( ) ( ) 时，有 取 ，则当 − + − = 2 2 0 0 0 0, x y ( ) 2 2 2 2 1 x y sin 0 x y + − + 证毕
sin(x+y) 例6求limx2+y x→>0 y->0 解令u=x2+y2 sinu 原式=lim →>0
例6 求 2 2 2 2 0 0 sin( ) lim x y x y y x + + → → 解 令 u= x 2 + y 2 0 sin lim 1 u u → u 原式 = =
复数与复变函数 复数与复数的运算 二、复变函数的概念 复变函数的极限 四、复变函数的连续性
复数与复变函数 一、复数与复数的运算 二、复变函数的概念 三、复变函数的极限 四、复变函数的连续性