r(m(n-1)…21)=(m-1)+(m-2)+…+2+1sm(n-1) 当n=4k或n=4k+1时,2是偶数,所以排列是偶排列,当n=4k+2或n=4k+3 l) 是奇数,所以排列是奇排列 例2设排列中2n的逆序数为r试计算nnh4的逆序数 解在排列4n中,任意取出两个数,如果前面的数小于后面的数,则称这两个数构 成一个顺序:一个排列中顺序的总数称为顺序数由于在排列中任取两个数,它们不构成逆序 那么它们就构成顺序;或它们不构成顺序,那么它们就构成逆序,因而有 r(i1i2…in)+排列2…in的顺序数=Cn 又因为排列2n的顺序数就等于排列nn1‘h的逆序数.故 r(nln-1…i2i1)=C 例3当n≥2时,n个数的奇排列与偶排列的个数相等各为2个 证设n级排列中,奇排列共有p个,而偶排列共有q个.对这p个奇排列进行同一个对 换,即i与j的对换,那么根据对换改变奇偶性可知,原p个奇排列变为p个不同的偶排列, 因而P≤q,同理可得q≤P,因此2 例4计算n阶行列式 a1 D 000 解因为在行列式D中除了第n行外,其余的每一行只有一个非零元素,由n阶行列式 的定义可知,D只含一项a1a2an-1n:其中元素的下标(第n个数an的第一个下标)正 好是它们的行指标,已是一个标准的排列,而它们所在列的下标构成的排列为23…ml;这个
2 ( 1) ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 − − = − + − + + + = n n n n n n 当 n = 4k 或 n = 4k + 1 时, 2 n(n −1) 是偶数,所以排列是偶排列,当 n = 4k + 2 或 n = 4k + 3 时, 2 n(n −1) 是奇数,所以排列是奇排列. 例 2 设排列 n i i i 1 2 的逆序数为 r,试计算 1 2 1 i i i i n n− 的逆序数. 解 在排列 n i i i 1 2 中,任意取出两个数,如果前面的数小于后面的数,则称这两个数构 成一个顺序；一个排列中顺序的总数称为顺序数.由于在排列中任取两个数,它们不构成逆序, 那么它们就构成顺序；或它们不构成顺序,那么它们就构成逆序,因而有 2 1 2 1 2 ( ) n n Cn i i i + 排列i i i 的顺序数= 又因为排列 n i i i 1 2 的顺序数就等于排列 1 1 i i i n n− 的逆序数.故 i i i i C r n n− = n − 2 1 2 1 ( ) 例 3 当 n 2 时,n 个数的奇排列与偶排列的个数相等,各为 2 n! 个. 证 设 n 级排列中,奇排列共有 p 个,而偶排列共有 q 个.对这 p 个奇排列进行同一个对 换,即 i 与 j 的对换,那么根据对换改变奇偶性可知,原 p 个奇排列变为 p 个不同的偶排列, 因而 p q .同理可得 q p ,因此 2 n! p = q = . 例 4 计算 n 阶行列式 n n n nn n n a a a a a a a D 1 2 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − = 解 因为在行列式 Dn中除了第 n 行外,其余的每一行只有一个非零元素,由 n 阶行列式 的定义可知,Dn只含一项 a1a2 an−1an1 ；其中元素的下标（第 n 个数 n1 a 的第一个下标）正 好是它们的行指标,已是一个标准的排列,而它们所在列的下标构成的排列为 23n1 ；这个
排列的逆序数23…m1]=n-1:故 Dn=(-1)a1a2…an-1an 例5回答下列问题: (1)在一个n阶行列式中等于零的元素如果比n-n还多,那么此行列式等于零,为什 (2)如果n阶行列式中所有的元素变号,那么n阶行列式有什么变化,为什么? 解(1)由n阶行列式的展开式 D ∑ r(w2"naij 可知,D的值是n!项的代数和,而其中每一项都是n个元素的乘积,这n个元素又需要取自不 同行不同列 又n阶行列式D中一共有n2个元素,如果等于零的元素比(n2-m)还多,那么其中不等 于零的元素就一定比2-(m2-m)=n还少,也就是说,D中最多有n-1个元素不等于零,所 以D的m!项中每一项的n个元素中必有零元出现即n!项的每一项都是零,故必有Dn=0 (2)设 anI an2 在行列式D中每一个元素均变号,则得 D 因此,当n为偶数时,在D=Dn,即n阶行列式不变:当n为奇数时,有Dn=一Dn,即n阶 行列式变号
排列的逆序数 23n1 = n − 1 ；故 1 2 1 1 1 ( 1) n n n Dn a a a − a − = − 例 5 回答下列问题： （1）在一个 n 阶行列式中等于零的元素如果比 n − n 2 还多,那么此行列式等于零,为什 么？ （2）如果 n 阶行列式中所有的元素变号,那么 n 阶行列式有什么变化,为什么？ 解 （1）由 n 阶行列式的展开式 n n n j j nj j j j j j j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = = (−1) 可知,Dn的值是 n!项的代数和,而其中每一项都是 n 个元素的乘积,这 n 个元素又需要取自不 同行不同列. 又 n 阶行列式 Dn中一共有 2 n 个元素,如果等于零的元素比 ( ) 2 n − n 还多,那么其中不等 于零的元素就一定比 n − (n − n) = n 2 2 还少,也就是说,Dn 中最多有 n − 1 个元素不等于零,所 以 Dn的 n!项中每一项的 n 个元素中必有零元出现.即 n!项的每一项都是零,故必有 Dn = 0 . （2）设 n n nn n n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 在行列式 Dn中每一个元素均变号,则得 n n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − = − − − − − − − − − − = 因此,当 n 为偶数时,在 Dn = Dn ,即 n 阶行列式不变；当 n 为奇数时,有 Dn = −Dn ,即 n 阶 行列式变号
(二)用定义与性质计算行列式的典型例题 例1计算阶行列式 Fo bb A bm X 0A0 A 0 AA A 00A 其中,,4≠0(=0,1,2,A,m) 解如果x=0,则容易计算得 如果时,考虑将化为一个上(下)三角形式的行列式,即 AA鸟 X 4 110A0 A 101A0 AAAA 100A1 A a1a21 axX 例2计算n阶行列式
( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题 例 1 计算 阶行列式 其中, . 解 如果χ=0 ,则容易计算得 如果 时,考虑将 化为一个上（下）三角形式的行列式,即 例 2 计算 n 阶行列式
D AAAA AAA A 其中,x≠a(=12.A 解由行列式的性质,将n阶行列式为上(下)三角形式的行列式来计算,即 X1 22 Dx=F1-X1 A?-d AAAAA 1 0 x2-42 23 (x-a)(x2-a2)A(x-an)-1 A A AA A A I(x, A AAA A X1 其中, 值得注意的是,如果一个n阶行列式能够化为形如例6的行列式,用化三角形式计算行列 式比较容易掌握,这也是计算行列式的一种常用方法.如下面各行列式都可以使用化三角形 法来计算
其中, . 解 由行列式的性质,将 n 阶行列式为上（下）三角形式的行列式来计算,即 其中, . 值得注意的是,如果一个n阶行列式能够化为形如例6的行列式,用化三角形式计算行列 式比较容易掌握,这也是计算行列式的一种常用方法.如下面各行列式都可以使用化三角形 法来计算