第二章矩阵与向量 el 0ù 例3设矩阵A= 2-1 其列向量 6024ǘ u1,42,43,04间有线性关系：04=a1+22-03, 矩阵B由矩阵A经过有限次初等行变换得到. 验证B的列向量b1,b2,b3,b,间也有线性关系 b4=b1+2b2-b3
第二章 矩阵与向量
第二章矩阵与向量 解：对矩阵4A作初等行变换如下： 11 3 0ù el 1 3 0i 3-6 +3r2 A 2 -1 ú 2 -1 5 u ú 0 -6 -16 4ǖ 0 0 -19 191 1 3 0 ù 1 1 0 3 3ùd 19 r-331 2 -1 5 i 2 0 4 2+53 0 0 -1 0 0 1 -1
第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ：
第二章矩阵与向量 ,11 1 3ù el 0 0 1ù 1 0 1-e 1 02日B 0 01 -1 001-1 容易看出，B的列向量b1,b2,b3,b,间也有 线性关系b4=b1+2b2-b3 推论初等行（列变换不改变矩阵的列（行）秩
第二章 矩阵与向量 推论 初等行(列)变换不改变矩阵的列(行)秩
第二章矩阵与向量 定理2.4.3矩阵的行秩等于列秩 证：由于x矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 el 0 4 0 0 4 0ù 1 4 0 0 4 0 eva 4 4 4 h 4 4ú I=&0 0 0 4 0 第r行 0 4 0 0 4 e 4 4 4 4 4 4 u 0 0 4 0 0 h 0日 第r列 而矩阵的行秩和列秩都等于r,根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于，即A的行秩等于列秩
第二章 矩阵与向量 定理2.4.3 矩阵的行秩等于列秩. 证：由于m×n矩阵A总可以经过有限次初等变换化 为标准形 而矩阵I的行秩和列秩都等于r，根据定理2.4.1及定 理2.4.2的推论知，对A进行初等行变换和初等列变换， 它的行秩和列秩都不改变，所以A的行秩和列秩都应 等于r，即A的行秩等于列秩
第二章矩阵与向量 定义2.4.2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). 对于m'n矩阵A,显然R(A)满足条件： 0￡R(A)￡min{m,n}.若A为n阶方阵，且 R()=L,则称A为满秩矩阵。 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B). 推论给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知 矩阵A化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵的非零行数就 是A的秩
第二章 矩阵与向量 定义2.4.2 矩阵A的行秩和列秩，统称为矩阵A的秩， 记为R(A). 推论给出了用初等变换求矩阵秩的方法：将已知 矩阵A化为阶梯形矩阵后，阶梯形矩阵的非零行数就 是A的秩