由(5)式每组的后一半可得 h y(xj+)=y(x, )+hy(xj +1) y(5 记 1=y, + hf(x -(8) j+1〃j+1 j=0,1,…,n-1 en+1(h)=-ny"() y"(x1+1) 2 2 (9) 其中y=y(x)y1y(x)y(x)=(x1yn) (8)和(9)式称为求解初值问题(1)的后退 Euler公式和误差项 注意(8)式右端含有y,此类公式称为隐(形公)式 而前进Eler公式右端不含 j+1 此类公式称为显(形公)式
由(5)式每组的后一半可得 ( ) ( ) ( ) +1 +1 = + ¢ j j j y x y x hy x ( ) 2 2 j y h - ¢¢ x 记 ( , ) j +1 = j + j+1 j+1 y y hf x y ( ) 2 ( ) 2 j 1 j y h e h = - ¢¢ x + ( ) 2 1 2 + » - ¢¢ j y x h ( ) j j 其中 y = y x ( ) j +1 » j +1 y y x --------(8) --------(9) (8)和(9)式称为求解初值问题(1)的后退Euler公式和误差项 注意(8)式右端含有y j+1 ,此类公式称为隐(形公)式 j = 0,1,L,n - 1 ( ) ( , ) +1 = +1 +1 ¢ j j j y x f x y 而前进Euler公式右端不含y j+1 ,此类公式称为显(形公)式
从(6或(8)式不难看出,在计算y时只要用到前一个值 这种类型的方法称为单步格式或单步法 Euer方法的几何体现 前进 Euler公式 Vi+=y+hf(,yi) y,+hy(x) 后退Euer公式 y+1=y+hf(x+1y+1) y,+hy(i1)
从(6)或(8)式不难看出, j j 在计算y 时只要用到前一个值y +1 这种类型的方法称为单步格式或单步法 Euler方法的几何体现: ( ) j j = y + hy ¢ x ( , ) j 1 j j j y = y + hf x y + 前进Euler公式 ( ) +1 = + ¢ j j y hy x ( , ) j +1 = j + j+1 j+1 y y hf x y 后退Euler公式 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5