定理1.如果f(x,y)满足Lchi条件,即 彐正数L,使得∨x∈[a,b,均有 I f(x, Di)-f(x,y2),-y2 则初值问题()解存在且唯 对于问题(1),要求它的数值解 就是求未知函数y(x)在区间ab]上的一系列离散点(节点) a=xn<x,<x<∴<X.=b 上函数值y(xk)舶近似值y(k=1,2灬…,n) 而yk(k=1,2…,n)就是问题(1)的数值解
定理1. 如果f (x, y)满足Lipschitz条件，即 $正数L,使得"x Î[a,b]，均有 | f (x, y1 ) - f (x, y2 )|£ L|y1 - y2| 则初值问题(1)的解存在且唯一 对于问题(1),要求它的数值解 就是求未知函数y(x)在区间[a,b]上的一系列离散点(节点) a x x x x b = 0 < 1 < 2 <L < n = y(x ) y (k 1,2, ,n) 上函数值 k 的近似值 k = L 而yk (k = 1,2,L,n)就是问题(1)的数值解
从(1)的表达式 y=f(x,y)a≤x≤b (1) 可以看出求它的数值解的关键在于 y(x)数值计算问题 或者它的等价的积分方程(x)=+/(y() 积分(,y()数值计算问题 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过
î í ì = ¢ = £ £ 0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b -----------(1) 从(1)的表达式 可以看出,求它的数值解的关键在于 y ¢(x)数值计算问题 或者它的等价的积分方程 = + ò 中 x a y(x) y f (t, y(t))dt 0 积分ò 的数值计算问题 x a f (t, y(t))dt 而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过
、基于数值微分的常微分方程数值解法 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 a=x<x<x<.<x=b b-a h= a+ kh 对于初值问题(1) f(xy)a≤x≤b (1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式
一、基于数值微分的常微分方程数值解法 î í ì = ¢ = £ £ 0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b -----------(1) 对于初值问题(1) 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 a x x x x b = 0 < 1 < 2 <L < n = 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 x a kh n b a h k = + - =
(一) Euler公式 [a,x]y(a)=[v(x)-y(x)-y"(50) y(x1)=[y(x1)y(x)+y(0) h [x1,x2] v(X y"(1) h (5) (x2)=[(x2)-y(x1)+y"(51) 2 x 1 y(xi)h y(x1)-y(x)2 y() h y(x +1) (x 4)-y(x) +y(5)
[ ( ) ( )] 1 ( ) 1 0 y x y x h y ¢ a = - ( ) 2 x0 y h [ , ] - ¢¢ 1 a x [ ( ) ( )] 1 ( ) 1 1 0 y x y x h y ¢ x = - ( ) 2 x0 y h + ¢¢ [ ( ) ( )] 1 ( ) 1 2 1 y x y x h y ¢ x = - ( ) 2 x1 y h - ¢¢ [ , ] 1 2 x x [ ( ) ( )] 1 ( ) 2 2 1 y x y x h y ¢ x = - ( ) 2 x1 y h + ¢¢ [ ( ) ( )] 1 ( )j j 1 j y x y x h y ¢ x = + - ( ) 2 j y h [ , ] - ¢¢ x j j+1 x x [ ( ) ( )] 1 ( ) j 1 j 1 j y x y x h y ¢ x + = + - ( ) 2 j y h + ¢¢ x --------(5) (一) Euler公式
由)式每组的前一半可得 h2 y(x1)=y(x)+hy(a)+ny"(50) yO )=y(x1)+hy(x1)+y"(21) 2 h y(x+1)=y(x)+hy(x)+y"()j=0,1,…,n-1 记 yi+ 6 h h j=0,1,…,n-1 (h)="y(5) 2 2 其中y=y(x)y1≈y(x1)y(x)=f(xy) (6)和(7)式称为求解初值问题(1)的(前进uler公式和误差项
由(5)式每组的前一半可得 ( ) ( ) ( ) 1 0 y x = y x + hy ¢ a ( ) 2 0 2 y x h + ¢¢ ( ) ( ) ( ) 2 1 1 y x = y x + hy ¢ x ( ) 2 1 2 y x h + ¢¢ ( ) ( ) ( ) j 1 j j y x = y x + hy ¢ x + ( ) 2 2 j y h + ¢¢ x LL --------(6) j = 0,1,L,n - 1 ( , ) j 1 j j j y = y + hf x y + ( ) 2 ( ) 2 j 1 j y h e h = ¢¢ x + ( ) 2 2 j y x h » ¢¢ --------(7) 记 ( ) j j y = y x j = 0,1,L,n - 1 其中 ( ) j +1 » j +1 y y x ( ) ( , ) j j j y ¢ x = f x y (6)和(7)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式和误差项