注意独立性的概念在计算概率中的应用 对于独立事件，许多概率计算可得到简化： 例2三人独立地去破译一份密码，己知各人能译出的概率分别 为1/5,1/3,1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解将三人编号为1,2,3，记A:={第i个人破译出密码}i=1,2,3 所求为P(A1UA2UA3) 己知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4, P(A1UA2UA3)=1-P(A UA2UA) =1-P(A1A2A3) =1-P(A1)P(A2)P(A3) =1-[1-P(A)][1-P(A2)][1-P(A3)] =1-专3星g-6
P(A1∪A2∪A3 ) 对于独立事件，许多概率计算可得到简化： 例2 三人独立地去破译一份密码, 已知各人能译出的概率分别 为1/5, 1/3, 1/4, 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解 将三人编号为1, 2, 3, 所求为 P(A1∪ A2∪ A3 ) 记 Ai = {第 i 个人破译出密码 } i =1,2,3 注意独立性的概念在计算概率中的应用 已知 P(A1)= 1/5, P(A2)= 1/3, P(A3)= 1/4， 1 2 1 ( ) P A A An 1 ( ) P A1A2A3 1 ( ) ( ) ( ) P A1 P A2 P A3 = 1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 0.6 . 5 3 4 3 3 2 5 4 1
n个独立事件和的概率公式： 设事件A1,A2,…,An相互独立，则 P(A1U…UAm)=1-P(A1UA2U…UAm) A,A2…,An =1-P(A1A2…An) 也相互独立 =1-P(A1)P(A2)…P(An) n个相互独立事件至少有一个发生的概率 1一各自对立事件概率的乘积 若n个相互独立事件A1,A2,…,An发生的概率分别为P1,…,Pm, 则“A1,A2,…,An至少有一个发生”的概率为 P(A1UUAn)=1-(1-p1)…(1-pn) 类似可以得出：“A1,2,,Am至少有一个不发生”的概率为 P(AUA,U..UA)=P(()P(An)
设事件 A1 , A2 , „ , An 相互独立,则 1 P( A1 A2 „ An ) 1 P(A1A2„An ) P(A1∪„ ∪An) 1 P(A1 )P(A2 )„P(An ) 也相互独立 A1 , A2 , „ , An n个相互独立事件至少有一个发生的概率 === 1 - 各自对立事件概率的乘积 , , , 1 n p p 若n个相互独立事件 A1 , A2 , „ , An 发生的概率分别为 则“ A1 , A2 , „ , An 至少有一个发生”的概率为 P(A1∪„∪An) = 1-(1- p1 ) „(1- pn ) 类似可以得出： “ A1 , A2 , „ , An 至少有一个不发生”的概率为 1 2 ( ) P A A A … n 1 P(A1 )P(A2 )„P(An ) n个独立事件和的概率公式: 1 2 1 n p p p …
例3 一玩电子游戏者在一次射击中命中率为p=0.004, 求n次射击过程中击中目标的概率. 解设A={第i次射击时击中目标}i=l,,n 小概率事件 则P(A;)=p=0.004,且A,A2,…,Am相互独立 再设A={击中目标}， 则有A=A 故P(A)=1-P(A1)P(A2)…P(An) =1-(1-p)" =1-0.996". 当n=500时，P(A)=0.865. 只要P(4)=p<1,就有mP(4)=I1-(1-p)”]=1 只要你坚持重复地做，发生概率再小的事件总会发生
例3 一玩电子游戏者在一次射击中命中率为p = 0. 004 , 求n 次射击过程中击中目标的概率 . 解 设 Ai ={ 第 i 次射击时击中目标 } i =1,„ ,n , 则 P(Ai )= p = 0. 004 , 则有 且 A1 , A2 , „ , An 相互独立, 再设 A ={ 击中目标 }, ， n i A Ai 1 故 P(A) 1 P(A1)P(A2)P(An) n 1 (1 p) 1 0.996 . n 当 n = 500 时， P(A)= 0. 865 . 小概率事件 只要 P(A)= p<1, lim ( ) lim [1 (1 ) ] n n n P A p 就有 = 1 只要你坚持重复地做，发生概率再小的事件总会发生
例4 设A、B、C是三个事件，且P(A)=0.3,P(C)=0.6, P(BA)=0.4,P(BUC)=0.72,B与C相互独立，求P(AUB). 分析P(MUB)=P(A)+P(B)-P(4B2P4D+B,P(M)P(BA) =P(A)P(BA) 解由于B与C独立， P(BUC)=P(B)+P(C)-P(B)P(C) =P(B)[1-P(C)]+P(C) =0.4P(B)+0.6=0.72，→P(B)=0.3, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(BA) =0.3+0.3+0.3×0.4=0.48
例4 设 A、B、C 是三个事件，且 P(A)=0.3, P(C)= 0.6 , P(B|A)= 0.4 , P(B∪C)= 0.72 , B与 C相互独立，求 P(A∪B ). 解 由于 B与 C独立， 故 P(B∪C)= P(B)+ P(C) -P(B)P(C) = P(B)[1-P(C) ] + P(C) = 0.4 P(B) + 0.6 = 0. 72 , P(B)= 0. 3 , 分析 P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(AB) = P(A)P(B|A) = P(A)+ P(B) -P(A)P(B|A) ? 所以 P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A)P(B|A ) = 0. 3 + 0. 3 + 0.30. 4 = 0. 48