a,与>例1.若级数均收敛,且 a≤c≤b,n=1门=WC（n=1，2，…），证明级数收敛n=1证：0≤cn-a≤bn2an（n=1,2,），则由题设00(b-an) 收敛Z(c,-an)收敛n=1n=18OZcn=Z[(c,-a,)+a)]n=1n=00(cnan) +\>(a收敛n=1n=
例1. 若级数 ∑ n = 1 ∞ a n 与 ∑ n = 1 ∞ b n 均收敛 , 且 an ≤ c n ≤ bn (n= 1 , 2 , ⋯) , 证明级数 ∑ n = 1 ∞ c n 收敛 . 证: ∵ 0≤ c n − an ≤ bn − an (n= 1 , 2 , ⋯) , 则由题设 ∑ n = 1 ∞ (bn − an ) 收敛 ∑ n = 1 ∞ (c n − an ) 收敛 ∑ n = 1 ∞ c n = ∑ n = 1 ∞ [(c n − an )+an ] = ∑ n = 1 ∞ (c n − an ) + ∑ n = 1 ∞ an 收敛
P328题3.判别下列级数的敛散性2nTTncosX3W(2)(3)2n22n0anW(4)2n(5)(a>0,s>0)hsn=11WEnh发散lim=lim提示：(1)1-nn100n0据比较审敛法的极限形式，原级数发散
P328 题3. 判别下列级数的敛散性: (1) ∑ n= 1 ∞ 1 n n √n ; (2) ∑ n= 1 ∞ (n !) 2 2n 2 ; (3) ∑ n= 1 ∞ ncos2 nπ 3 2 n ; (4) ∑ n= 2 ∞ 1 ln10n ; (5) ∑ n= 1 ∞ a n n s (a>0 , s>0) . 提示: (1) ∵ lim n→∞ 1 n n √n 1 n = 1, 据比较审敛法的极限形式, 原级数发散 . = lim n→∞ 1 n √n ∑ n= 1 ∞ 1 n 发散
(2)[(n+1) ！]2(n!)lim=。，原级数发散2n22(n+1)22n2n=1-002n2T00n cosnCOSn33W<lim(3)2n2n2nn-400nR收敛,故原级数收敛1nX(4) >1imlimlim1101O10nnInXn=21nl0nX-→+8nn400n-00LnnXX1im1imx=+10ln°x1098..2X→+00W发散，·原级数发散用洛必达法则n
∴ ∑ n= 1 ∞ n 2 n lim n→∞ 1 ln10n ∴原级数发散 (2) ∑ n= 1 ∞ (n !) 2 2n 2 : (3) ∑ n= 1 ∞ n cos2 nπ 3 2 n : (4) ∑ n= 2 ∞ 1 ln10n : 故原级数收敛 ∑ n= 2 ∞ 1 n 发散, 收敛, lim n→∞ [(n+1) ! ] 2 2(n+1) 2 (n !) 2 2n 2 = ∞ 0≤ n cos2 nπ 3 2 n ≤ n 2 n , 1 n = lim n→∞ n ln10n = lim x→+∞ x ln10 x = lim x→+∞ x 10ln9 x = ⋯= lim x→+∞ x 10⋅ 9⋅ 8⋅⋯⋅ 2 = ∞ 用洛必达法则 lim n→∞ n √ n 2 n = 1 2 , 原级数发散
(5)2an(a>0 , s>0) :inSan+1(n+1)s=lima(limn+1an-80n-100n时收敛；时发散a<1a>1时收敛;S>1a=1时,为p级数人1时发散
(5) ∑ n= 1 ∞ a n n s (a>0 , s>0) : 时收敛 ; 时, 为 p 级数 s>1 时收敛; 时发散. s≤ 1 a<1 时发散 . a>1 a= 1 lim n→∞ a n+1 (n+1) s a n n s = lim n→∞ a ( n n+1 ) s = a
0000V>un和P328题4.设正项级数Vo都收敛，证明级数n=1n=1I(u,+vn)也收敛n=100Z（u,+vn)收敛，1imu,=limV,=0法1由题设n0n00n=1+Vlim=lim(u,+Vn)=0nun+vn00-00O根据比较审敛法的极限形式知结论正确法2 因limu,=limvn=0,.:lim(un+vn)=0n00n-00故存在N>0,当n>N时 0≤（un+Vn)<1,从而(un+Vn)(un+Vn)再利用比较法可得结论
P328 题4. 设正项级数 ∑ n= 1 ∞ un 和 ∑ n= 1 ∞ vn ∑ n= 1 ∞ (un +vn ) 2 也收敛 . 法1 由题设 lim n→∞ un = lim n→∞ v ∑ n = 0 , n= 1 ∞ (un +v n ) 收敛 , = lim n→∞ (un +vn ) = 0 根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 都收敛, 证明级数 ∴ lim n→∞ ( un +vn ) 2 un +vn 法2 因 lim n→∞ un = lim n→∞ vn = 0 , 故存在 N > 0,当n >N 时 ∴ lim n→∞ (un +vn )= 0 , ¿( un +vn ( u ) n +vn ) 2 0≤ ( un +vn )<1, 从而 再利用比较法可得结论