(2)求变量间的相关变化率 在实际问题中,往往是同时岀现几个变量.变量 之间有确定的关系,并且它们都是另外某一个变量的 函数(例如,都是时间t的函数)从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发,由已知的一个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率,就是所 谓的相关变化率问题
(2) 求变量间的相关变化率. 在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量 之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的 函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出一个变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题
5加热金属圆板,其半径以00秒的速度均匀增加 问当半径为200cm时,圆板面积的增加率为多少? 解设圆板的半径为x,面积为y,则 y=n x 显然,x,y都是t的函数,且 d x 001cm/秒 dt 现要求x=20m时,y=? dt 将(1)式两边关于t求导,得 d y d LTX d t dt 故在x=200时,圆板面积的增加率为 dy=2x200×001=4(cm/秒) d t
例 5解 加热一金属圆板, 其半径以 0.01cm/秒的速度均匀增加. 问当半径为200 cm时, 圆板面积的增加率为多少? 设圆板的半径为x , 面积为y, 则 . (1) y = x2 0.01cm/ . dd 显然, , 都是 的函数, 且 = 秒 tx x y t ? dd = 200 cm , = ty 现要求 x 时 将(1)式两边关于t 求导, 得 , dd 2 dd tx x ty = 故在 x = 200 时, 圆板面积的增加率为 2 200 0.01 4 (cm/ ). dd = = 秒 ty
阿6向一个上顶的直径为8米深为8米的圆锥形容器内匀速 注水.若注水的速度为4m3分,求当水深5米时水表面上 升的速度? 解]设注水t分钟后水深为h米此时水面的直径也是h米 容器内水的体积为 h h==h 12 此外,V=4t,故有h3=41.对此式两边关于t求导,得 dh 16 dt th2 故当水深h=5米时,其表面上升的速度为 dh1616 ≈0204(m/分) dtn.5225丌
例 6解 向一个上顶的直径为8米, 深为8米的圆锥形容器内匀速 . 4 m / , 5 注水 若注水的速度为 3 分 求当水深 米时水表面上 升的速度? 设注水t 分钟后, 水深为 h 米. 此时, 水面的直径也是 h米, . 3 2 12 1 3 2 h h h V = 容器内水的体积为 = 4 . , 12 , 4 , 此外 V = t 故有 h3 = t 对此式两边关于 t 求导 得 . 16 dd 2 t h h = 故当水深 h = 5米时, 其表面上升的速度为 0.204 (m/ ). 25 16 5 16 dd 2 = 分 = t h
例7 设一贴靠在铅直的墙上 y d t 长度为5米的梯子的下端以 3m/秒的速度离开墙脚滑动 5m dx dt 问何时梯子上下两端滑动的 0 x 速度大小相同? 解引入坐标系如图所示 设在时刻t时,梯子下端离墙脚x(m),上端离墙脚y(m 显然,x,y均为t的函数,且有 dx 3(m/秒),x2+y2=5 d t
例 7解 设一贴靠在铅直的墙上, 长度为 5 米的梯子的下端以 3m/秒的速度离开墙脚滑动. 问何时梯子上下两端滑动的 速度大小相同？ yO x 5 m tx dd ty dd 引入坐标系如图所示. 设在时刻 t 时, 梯子下端离墙脚 x (m), 上端离墙脚 y (m). 显然, x, y均为 t 的函数, 且有 3 (m/ ), 5 . (1) dd = x2 + y2 = 2 tx 秒 x y
注意到速度的方向性,我们的问题是 y 求x,y的值,使 dt d=-3(m/秒) (2) dt 对x2+y2=52两边关于t求导,得 ox XX d 2x+2y=0, 即有 x dx dt d t d x 由(2)式及 dt 3(m秒),得3x3,即x=y 而x2+y2=52,故x=y 即当x=y 时,梯子上下端滑动速度大小相同
注意到速度的方向性, 我们的问题是 3 (m/ ). (2) d d = − 秒 t y 5 , 对 x 2 + y 2 = 2 两边关于 t 求导 得 0 , d d 2 d d 2 + = t y y t x x . d d d d t x y x t y 即有 = − 3 (m/ ), 3 3, . d d (2) x y y x t x 由 式及 = 秒 得 − = − 即 = . 2 5 5 , 2 2 2 而 x + y = 故 x = y = , . 2 5 即当 x = y = 时 梯子上下端滑动速度大小相同 求 x, y的值, 使 y O x 5 m t x d d t y d d x y