3.从 Green公式还可以得到一个求区域面积的方法: 设D为平面上的有界闭区域,其边界为分段光滑的简单闭曲线 则它的面积为 S=xdy x aD aD 其中∂D取正向
3. 从 Green 公式还可以得到一个求区域面积的方法： 设D为平面上的有界闭区域，其边界为分段光滑的简单闭曲线。 则它的面积为 ∫∫∫ ∂ ∂ ∂ −=−== D D D xdyS ydx ydxxdy 21 ， 其中∂D 取正向
例14.31计算椭圆x+2=1(a,b>0)所围图形的面积 O 图1437 解椭圆的参数方程为 x= a cose,y=bsin6,0≤6≤2丌 设椭圆的正向边界为L,那么所求面积为 s=nxdy-ydr= lab cos20+absin 20ke=l 10=mb L
例 14.3.1 计算椭圆 x a y b a b 2 2 2 2 += > 1 0 (, )所围图形的面积。 解 椭圆的参数方程为 xa yb = cos , sin , θ = θ 0 2 ≤ θ ≤ π 。 设椭圆的正向边界为L ，那么所求面积为 ( ) abd ab ydxxdyS ab θ dab θθ πθ π π ∫∫ ∫ =−= + = = 20 20 2 2 2 cos sin 21 21 L 。 图14.3.7 x a y b 2 2 2 2 + =1 O x y
例1432计算/于x+y+小+Mmx+x2+y小,其中L为 曲线y=sinx,0≤x≤z与直线段y=0,0≤x≤z所围区域D的正向边界 解令P=、2+y,Q=+Mmx+√x+y)小,则 aP √x2+y Ox x-+1 由 Green公式得到 a0 aP sin x 4 sin xdx= ax ay o ydy= y=sin x 图1438
例 14.3.2 计算 [ ] ∫ +++++= L ln( ) dyyxxxyydxyxI 22 22 ，其中L 为 曲线 y xx = sin , 0 ≤ ≤ π 与直线段 y = 0 0, ≤ x ≤ π 所围区域D的正向边界。 解 令 , [ ln( )] 22 22 +++=+= yxxxyyQyxP ，则 22 2 22 , yx y y x Q yx y y P + += ∂ ∂ + = ∂ ∂ 。 由 Green 公式得到 9 4 sin 3 1 0 3 sin 0 2 0 2 = = = = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ = ∫∫ ∫∫∫∫∫ π π dyydxdxdyydxdy xdx yP xQ I x D D 。 = sin xy O x y π 图14.3.8
例1433计算/=siny=mk+( e cos y-mh,其中L为圆 (x-a2+y2=a2(a>0)的上半圆周,方向为从点A(2a0)到原点O(0,0)。 解现在积分曲线不是闭的,不能 直接用Gren公式,但添加一条直线 222 段OA(方向从O到A)后,L与OA合 a ty =a 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 P=e sin y-my, Q=e cos y-m O A(2a,0)x P aO =e cosy-m e"cosy。 x 图1439 利用 Green公式,得到 ∫(esny-m).+( cos y-m)+∫(esmy-m)+( e cos y-m) OA m//ddv- mra
例 14.3.3 计算 ( )( ) ∫ = −+− L I dxmyy dymy x x sine cose ，其中L 为圆 )( )0( 222 aayax >=+− 的上半圆周，方向为从点 aA )0,2( 到原点O(,) 0 0 。 解 现在积分曲线不是闭的，不能 直接用 Green 公式，但添加一条直线 段OA（方向从O到 A）后，L 与OA合 起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲 线所围的区域为D。这时 y。 x Q my y P myQmyyP x x x x cose,cose ,cose,sine = ∂ ∂ −= ∂ ∂ −=−= 利用 Green 公式，得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 e sin e cos e sin e cos 2 xx xx OA y my dx y m dy y my dx y m dy m a m dxdy π − + −+ − + − = = ∫ ∫ ∫∫ L D 。 A a (2 , 0) 22 2 ( ) x a− += y a O x y 图14.3.9
再计算沿O4的曲线积分。因为O4的方程为y=0,x:0→2a,那么 sin y-myx+le cos y-mbyy=L Odx+0=0 代入前面的式子,就得到 ∫( e sin y-m)+(9ym1b= n丌a L
再计算沿OA的曲线积分。因为OA的方程为 = → 20:,0 axy ，那么 ( ) sine ( cose ) 000 20 =+=−+− ∫ ∫ a OA x x dxmyy dxdymy 。 代入前面的式子，就得到 ( )( ) 。 2 sine cose 2 am dxmyy dymy x x π =−+− ∫L