下面我们给出实数集上邻域的概念在一般度量空间的推广 定义 设(X,d)是度量空间，0∈X,r>0是正实数，称X中的子集 Bx(o,r)={x∈刈d(x,xo)<r} 为以0为中心，以r为半径的开球，或0的r邻域. 在一般的度量空间中，B(0,r）中有可能只含有0一个点.例如，对 于任何非空集合X,定义X上度量如下： 当x卡头 当x= 则对任何0∈X,当r≤1时，有B(0,r）={o} 泛函分析 September 7,2021 16/54
下面我们给出实数集上邻域的概念在一般度量空间的推广. 定义 设 (X, d) 是度量空间, x0 ∈ X, r > 0 是正实数, 称 X 中的子集 BX(x0, r) = {x ∈ X| d(x, x0) < r} 为以 x0 为中心, 以 r 为半径的开球, 或 x0 的 r 邻域. 在一般的度量空间中, B(x0, r) 中有可能只含有 x0 一个点. 例如, 对 于任何非空集合 X, 定义 X 上度量如下: d(x, y) = { 1 当x ̸= y, 0 当x = y, 则对任何 x0 ∈ X, 当 r ⩽ 1 时, 有 B(x0, r) = {x0}. 泛函分析 September 7, 2021 16 / 54
定义 设(X,d),(Y,d1)是两个度量空间，f:X→Y是映射，o∈X, f孔o)=0.如果对0的任何e邻域By(0,e),都有的6邻域 Bx(0,)使得f(Bx(0,6)CBy(0,e),则称f在0点连续.如果f在 X中的每一点连续，则称f是从X到Y中的连续映射 如果f:X→Y是一一对应，并且广1都连续，则称f是从X到Y的 同胚映射.此时我们称X与Y同胚 泛函份析 September 7,2021 17/54
定义 设 (X, d), (Y, d1) 是两个度量空间, f : X → Y 是映射, x0 ∈ X, f(x0) = y0. 如果对 y0 的任何 ε 邻域 BY(y0, ε), 都有 x0 的 δ 邻域 BX(x0, δ) 使得 f(BX(x0, δ)) ⊂ BY(y0, ε), 则称 f 在 x0 点连续. 如果 f 在 X 中的每一点连续, 则称 f 是从 X 到 Y 中的连续映射. 如果 f : X → Y 是一一对应, 并且 f, f −1 都连续, 则称 f 是从 X 到 Y 的 同胚映射. 此时我们称 X 与 Y 同胚. 泛函分析 September 7, 2021 17 / 54
完备性 定义 设{n}21为度量空间(X,d)中的点列，如果对任给e>0,都存在整数 N,使得 d(Im;In)<E Yn,m>N, 则称其为Cauchy列. 由定义可知，当n,m足够大时，Cauchy列中两点xm,m之间的距 离非常小.因而我们有理由要求在一个“好”的度量空间中Cauchy列收 敛. 定义 设度量空间(X,d)中每一Cauchy列收敛，则(X,d)称为完备度量空 间 泛函份析 September 7,2021 18/54
完备性 定义 设 {xn}∞ n=1 为度量空间 (X, d) 中的点列, 如果对任给 ε > 0, 都存在整数 N, 使得 d(xm, xn) < ε ∀ n, m > N, 则称其为 Cauchy 列. 由定义可知, 当 n, m 足够大时, Cauchy 列中两点 xn, xm 之间的距 离非常小. 因而我们有理由要求在一个 “好” 的度量空间中 Cauchy 列收 敛. 定义 设度量空间 (X, d) 中每一 Cauchy 列收敛，则 (X, d) 称为完备度量空 间. 泛函分析 September 7, 2021 18 / 54