例 设X为一个集合.定义X上度量如下： d(= fx卡 if x=y. 则(X,d(,)是度量空间.此空间称为离散度量空间，经常用于构造反 例. 泛函分析 September 7,2021 11/54
例 设 X 为一个集合. 定义 X 上度量如下: d(x, y) = 1, if x ̸= y, 0, if x = y. 则 (X, d(·, ·)) 是度量空间. 此空间称为离散度量空间, 经常用于构造反 例. 泛函分析 September 7, 2021 11 / 54
度量空间的一个重要特性是其上可以定义极限运算.下面我们首先 给出极限的定义 定义 设(X,d)是度量空间，{x}e1是X中的点列，x∈X如果 lim d(zn,)=0, 则称{n}按度量d收敛于x,或称X为{n}的极限，记为 lim Zn=x在(X,d)中 →00 或 n→x在(X,d)中 如果存在某个x∈X,使得lim Zn=x,则称{红n}e1在(X,d)中收敛 泛函分析 September 7,2021 12/54
度量空间的一个重要特性是其上可以定义极限运算. 下面我们首先 给出极限的定义. 定义 设 (X, d) 是度量空间, {xn}∞ n=1 是 X 中的点列, x ∈ X. 如果 limn→∞ d(xn, x) = 0, 则称 {xn} 按度量 d 收敛于 x, 或称 X 为 {xn} 的极限, 记为 limn→∞ xn = x 在(X, d) 中 或 xn → x 在(X, d) 中. 如果存在某个 x ∈ X, 使得 limn→∞ xn = x, 则称 {xn}∞ n=1 在 (X, d) 中收敛. 泛函分析 September 7, 2021 12 / 54
定理 设{}是度量空间(X,d)中的点列.如果{xn}e1在(X,d)中收敛， 则其极限唯一 泛函分析 September 7,2021 13/54
定理 设 {xn} 是度量空间 (X, d) 中的点列. 如果 {xn}∞ n=1 在 (X, d) 中收敛, 则其极限唯一. 泛函分析 September 7, 2021 13 / 54
定理 设{n}1,{yn}e1在(X,d)中分别收敛于m,0,则 d(xn,yn)→d(o,o) 度量函数d(x)是度量空间(X,d)上的二元连续函数. 泛函分析 September 7,2021 14/54
定理 设 {xn}∞ n=1, {yn}∞ n=1 在 (X, d) 中分别收敛于 x0, y0, 则 d(xn, yn) → d(x0, y0). 度量函数 d(x, y) 是度量空间 (X, d) 上的二元连续函数. 泛函分析 September 7, 2021 14 / 54
定义 设(X,d)是度量空间，ACX,如果存在0∈X,以及某个常数C≥0使 得当x∈A时， d(x,o)≤C 则称A是(X,d)中的有界集 思考题 试证如果{x}e1在X中收敛，则{xn}e1有界. 泛函分析 September 7,2021 15/54
定义 设 (X, d) 是度量空间, A ⊂ X, 如果存在 x0 ∈ X, 以及某个常数 C ⩾ 0 使 得当 x ∈ A 时, d(x, x0) ⩽ C. 则称 A 是 (X, d) 中的有界集. 思考题 试证如果 {xn}∞ n=1 在 X 中收敛, 则 {xn}∞ n=1 有界. 泛函分析 September 7, 2021 15 / 54