四种典型部分分式的积分: dx=Alnx-a+C xX-a dx (x-a)-n+C(n≠1) d-a 1-n 3./1x+N 变分子为 x t px t q M(2x+p)+N-MP Mx+w (x-+ px+g ndx再分项积分 (P2-4g<0,n≠1) HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束
四种典型部分分式的积分: Aln x a C x a C (n 1) n A n 1 ( ) 1 x x a A 1. d x x a A n d ( ) 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x px q M x N 3. d 2 x x px q M x N n d ( ) 4. 2 ( 4 0 , 1) 2 p q n 变分子为 (2 ) 2 x p M 2 M p N 再分项积分
dx 例2求 1+2x)(1+x2) 解:已知 1「4 2x 1+2x)(1+x 5L1+2x1+x 1+ 2 rd(+2x)1 rd(1+x 2+5 dx 原式 1+ 51+x +x2 In1+2x|-In(1+x)+ arctan x+C HIGH EDUCATION PRESS 例1(3)目录上贞下贝返回结束
例2. 求 . (1 2 )(1 ) d 2 x x x 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 x x 5 1 1 2x 4 2 1 2 x x 2 1 1 x x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 ln (1 ) 5 1 2 x arctan x C 5 1 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求 d +2x+3 1(2x+2)-3 解:原式 +2x+3 d(x2+2x+3) d(x+1) +2x+3 x x+1 =-Inx2+2x+3 arctan +c x-2 思考:如何求 dx (x2+2x+3) 提示:变形方法同例3,并利用P209例9 学 HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束
例3. 求 d . 2 3 2 2 x x x x 解: 原式 x x x d 2 3 2 (2 2) 3 2 1 x 2 3 d( 2 3) 2 1 2 2 x x x x ln 2 3 2 1 2 x x 2 2 ( 1) ( 2) d( 1) 3 x x C x 2 1 arctan 2 3 思考: 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d ? ( 2 3) 2 2 2 x x x x 提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9
说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 例4.求=(2x+2x+5x+5dx x4+5x2+4 解:1= 2x3+5x 2x2+5 dx t dx x+5x2+4 4+5x2+4 d(x+5x2+5)(x2+1)+(x2+4 dx 2·x4+5x2+4 (x2+1)(x2+4) In x+5x<+4+-arctan=+arctanx+C HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束
x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x x 例4. 求 d . 5 4 2 2 5 5 4 2 3 2 x x x x x x I x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3 x x x x d 5 4 2 5 4 2 2 5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 x x 2 arctan 2 1 x arctan x C 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法
例5求∫ dx +2x+2)2 解:原式=( x2+2x+2)-(2x+2) dx x2+2x+2)2 dx d(x2+2x+2) (x+1)2+1J( x+2x+2)2 arctan(x+1)+ +c x2+2x+2 HIGH EDUCATION PRESS 0 目录上页下返回结束
例5. 求 d . ( 2 2) 2 2 2 x x x x 解: 原式 x x x d ( 2 2) 2 2 ( 2 2) 2 x x (2x 2) ( 1) 1 d 2 x x 2 2 2 ( 2 2) d( 2 2) x x x x arctan(x 1) 2 2 1 2 x x C 机动 目录 上页 下页 返回 结束