第八章二元一次方程组全章教案教材内容本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简单的二元一次方程（组）的解。接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的常用方法一代入法和消元法。然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。最后，通过举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。教学目标（知识与技能）1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。（过程与方法）1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程，解方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。2、在把二元一次方程组转化为x=a,y=b的形式的过程中，体会“消元”的思想。（情感、态度与价值观）通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力。重点难点二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元一次方程组解决实际问题是重点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是难点。课时分配8.1二元一次方程组””1课时8.2消元——二元一次方程组的解法4课时3课时8.3再探实际问题与二元一次方程组2课时*8.4三元一次方程组解法举例””2 课时本章小结399999999999999
第八章 二元一次方程组全章教案 教材内容 本章主要内容包括：二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次 方程组，三元一次方程组解法举例，二元一次方程组的应用。 教材首先从一个篮球联赛中的问题入手，归纳出二元一次方程组及解的概念，并估算简 单的二元一次方程（组）的解。接着，以消元思想为基础，依次讨论了解二元一次方程组的 常用方法——代入法和消元法。然后，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”“种 植计划问题”“成本与产出问题”，将贯穿全章的实际问题提高到一个新的高度。最后，通过 举例介绍了三元一次方程组的解法，使消元的思想得到了充分的体现。 教学目标 〔知识与技能〕 1、了解二元一次方程组及相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两 种相关的等量关系；2、掌握二元一次方程组的代入法和消元法，能根据二元一次方程组的具 体形式选择适当的解法；3、了解三元一次方程组的解法；4、学会运用二（三）元一次方程 组解决实际问题，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。 〔过程与方法〕 1、以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关糸，设未知数，列方程，解 方程和检验结果”，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型。2、在 把二元一次方程组转化为x=a,y=b 的形式的过程中，体会“消元”的思想。 〔情感、态度与价值观〕 通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程，体会数学的应 用价值，提高分析问题、解决问题的能力。 重点难点 二元一次方程组及相关概念，消元思想和代入法、加减法解二元一次方程组，利用二元 一次方程组解决实际问题是重点；以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题是 难点。 课时分配 8.1 二元一次方程组 „„„„„„„„„„„„„„ 1 课时 8.2 消元——二元一次方程组的解法„„„„„„„ 4 课时 8.3 再探实际问题与二元一次方程组„„„„„„„ 3 课时 *8.4 三元一次方程组解法举例 „„„„„„„„„„ 2 课时 本章小结 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2 课时
8.1二元一次方程组[教学目标理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二元一次方程组的解。[重点难点二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理解二元一次方程组的解是难点。[教学过程一、问题导入我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问。看下面的问题：[出示1]篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？你知道吗？二、二元一次方程和二元一次方程组这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？胜的场数十负的场数=总场数，胜场积分十负场积分二总积分若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？x+y=222x+y=40这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？所含未知数的个数不同：特点是：（1）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数是1。像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫做二元一次方程上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y必须同时满足方程x十y=22和2x十y=40把两个方程合在一起，写成[x+y=22@12x+y=40②像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1的两个方程合在一起，就组成了二元一次方程组三、二元一次方程、二元一次方程组的解探究：「出示21满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.为此我们用含x的式子表示y，即y22一x（x可取一些自然数）。显然，上表中每一对x、y的值都是方程①的解。般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做元一次方程的解-如果不考虑方程的实际意义，那么x、y还可以取哪些值？这些值是有限的吗？还可以取x=1，y=23；x=0.5，y=21.5，等等。所以，二元一次方程的解有无数对。上表中哪对x、y的值还满足方程②？[x=18,x=18，y=2还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作ly=4.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做元一次方程组的解四、例题
8.1 二元一次方程组 [教学目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念，会检验一对数是不是二 元一次方程组的解。 [重点难点] 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点；理解二元一次方程组 的解是难点。 [教学过程] 一、问题导入 我们很多同学喜欢打篮球，这里面也有学问。看下面的问题：[ 出示 1] 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2 分，负一场得 1 分，某队为了争 取较好的名次，想在全部22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 你知道吗？ 二、二元一次方程和二元一次方程组 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？ 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分. 若设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？ x＋y＝22 2x＋y＝40 这两个方程与一元一次方程有什么不同？它们有什么特点？ 所含未知数的个数不同；特点是：（1）含有两个未知数，（2）含有未知数的项的次数是1。 像这样含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1 的方程叫做二元一次方程。 上面的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x、y 必须同时满足方程x＋y ＝22 和 2x＋y＝40 把两个方程合在一起，写成 x＋y＝22 ① 2x＋y＝40 ② 像这样，把具有两个未知数且含未知数的项的次数是1 的两个方程合在一起，就组成了 二元一次方程组. 三、二元一次方程、二元一次方程组的解 探究：[ 出示 2]满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y 的值有哪些？把它们填入表 中. 为此我们用含 x 的式子表示y，即 y＝22－x（x 可取一些自然数）。 显然，上表中每一对x、y 的值都是方程①的解。 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 如果不考虑方程的实际意义，那么x、y 还可以取哪些值？这些值是有限的吗？ 还可以取 x＝－1，y＝23；x＝0.5，y＝21.5，等等。 所以，二元一次方程的解有无数对。 上表中哪对x、y 的值还满足方程②？ x＝18，y＝2 还满足方程②.也就是说，它们是方程①与方程②的公共解，记作 18, 4. x y = = 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 四、例题
例1若方程x2m-1+5y2-3n=7是二元一次方程求m2+n的值。分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？解：依题意，得2m-1=1, 2-3n =1.由2m-1=1，得m=1由2-3n =1得n =1/3..m2+n=1+1/3=4/3五、课堂练习出示3]1、下列各对数值中是二元一次方程x十2y=2的解的是（-2[x=2[x=0(x:x=-1BDAly=0ly=2(y=1ly=02、课本94面练习。六、课堂小结1、二元一次方程、二元一次方程组的概念；2、二元一次方程、二元一次方程组的解作业：课本90面1-4.课后反思课题：8.2消元(1)1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；教学目标2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想教学难点代入消元法的基本思想。知识重点用代入法解二元一次方程组。教学过程（师生活动）设计理念播放学生篮球赛录像剪辑.体育节要到了，篮球是初一（1）班的拳头项目，为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分.已知每场比赛都要分出胜负，胜问题情境是队得2分，负队得1分，那么初一（1)班应该胜、负各几场？学生喜闻乐见的创设情境体育活动，增强你会用二元一次方程组解决这个问题吗？引入课题根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程求知欲，对所学知识产生亲切[x+y= 20感。[2x+y=40那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？引导：什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解）探究新知1
例 1 若方程 x 2 m –1 + 5y 2–3n = 7 是二元一次方程.求 m 2＋n 的值。 分析：由二元一次方程的概念你可以知道什么？ 解：依题意，得 2 m –1＝1，2–3n ＝1. 由 2 m –1＝1，得 m ＝1 由 2–3n ＝1 得 n ＝1/3 ∴m 2＋n＝1＋1/3＝4/3. 五、课堂练习[ 出示 3] 1、下列各对数值中是二元一次方程x＋2y=2 的解的是〔 〕 A = = 0 2 y x B = = - 2 2 y x C = = 1 0 y x D = = - 0 1 y x 2、课本 94 面练习。 六、课堂小结 1、二元一次方程、二元一次方程组的概念； 2、二元一次方程、二元一次方程组的解. 作业： 课本 90 面 1－4. 课后反思 课题： 8.2 消元（1） 教学目标 1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组； 2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法； 3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想． 教学难点 代入消元法的基本思想。 知识重点 用代入法解二元一次方程组。 教学过程（师生活动） 设计理念 创设情境 引入课题 播放学生篮球赛录像剪辑． 体育节要到了．篮球是初一(1）班的拳头项目．为了取得好名次， 他们想在全部 22 场比赛中得到 40 分．已知每场比赛都要分出胜负，胜 队得 2 分，负队得 1 分．那么初一(1)班应该胜、负各几场？ 你会用二元一次方程组解决这个问题吗？ 根据问题中的等量关系设胜x 场，负 y 场，可以更容易地列出方程． + = + = 2 40 20 x y x y 那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？ 问题情境是 学生喜闻乐见的 体育活动，增强 求知欲，对所学 知 识 产 生 亲 切 感。 探究新知 1、 引导：什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解）
满足方程①的解有：[x = 20[x= 21[x=19(x=18[x=17x=3(y=5y=lx=2x=4可以采用观察与估算的方法．但满足方程②的解有：很麻烦，故引发[x=19 [x=18[x=16[x=17学生产生寻找新y=4y=6y=2y=6方法的需求，[x=18这两个方程的公共解是(y= 4以退为进的思想2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？学生思考并列出式子。设胜x场，负(22一x)场，解方程2x+(22x）=40③解法略.重视知识的观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？发生过程，让学若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导生了解代入消元法解二元一次方（1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？（2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？程组的过程及依据：体会未知向（3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？（4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？已知，陌生向熟结合学生的回答，教师做出讲解，悉转化这一重要由方程①进行移项得y=22一x,思想一化归思由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程想②中的y用（22-劝来代换即得2x+（22一x）=40.由此一来，二元化为一元了解得x=18.问题解完了吗？怎样求y将x=18代入方程y=22—x，得y=4.能代入原方程组中的方程②来求y吗？代入哪个方程更简便？x=18这样，二元一次方程组的解是y=4归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法：（板书课题）例1用代入法解方程组例1改编自[x-y=3教材91页例1，暂时省略了3x-8y=14“用含一个本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价，未知数的式解：把①代入②，得巩固新知3（y+3）-8y=14子去表示另所以y=—1一未知数”把y=-1代人①，得x=2这一步骤，所以[x=2而将其放在y=-1例2中介绍
满足方程①的解有： = = 1 21 y x ， = = 2 20 x x ， = = 3 19 x x ， = = 4 18 x x , = = 5 17 y x 满足方程②的解有： = = 2 19 y x ， = = 4 18 y x ， = = 6 17 y x ， = = 6 16 y x „ 这两个方程的公共解是 = = 4 18 y x 2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？ 学生思考并列出式子． 设胜 x 场，负(22－x)场，解方程 2x＋(22－x) =40 ③ 解法略． 观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导． （1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？ （2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？ （3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？ （4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？ 结合学生的回答，教师做出讲解． 由方程①进行移项得y=22－x, 由于方程②中的 y 与方程①中的 y 都表示负的场数，故可以把方程 ②中的 y 用(22-劝来代换， 即得 2x+（22－x) =40.由此一来，二元化为一元了． 解得 x=18. 问题解完了吗？怎样求y 将 x=18 代入方程 y=22－x，得 y=4. 能代入原方程组中的方程①②来求y 吗？代入哪个方程更简便？ 这样，二元一次方程组的解是 = = 4 18 y x 归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程， 从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题） 可以采用观察与 估算的方法．但 很麻烦，故引发 学生产生寻找新 方法的需求． 以退为进的思 想． 重视知识的 发生过程，让学 生了解代入消元 法解二元一次方 程组的过程及依 据．体会未知向 已知，陌生向熟 悉转化这一重要 思 想 — 化 归 思 想． 巩固新知 例 1 用代入法解方程组 - = - = 3 8 14 3 x y x y 本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价． 解：把①代入②，得 3（y＋3）-8y＝14 所以 y=－1 把 y=－1 代人①，得x=2. 所以 = - = 1 2 y x 例 1 改编自 教材 91 页例 1， 暂时省略了 “用含一个 未知数的式 子去表示另 一未知数” 这一步骤， 而将其放在 例 2 中介绍
解后反思，教师引导学生思考下列问题：这样处理降（1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？低了难度，(2)为什么能代？利于分阶段（3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？达成本课的（4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值知识目较简便？标．本例的(5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？重点在于让（与解一元一次方程一样，需检验，其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否学生掌握代相等，检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）入法的基本例2（为例1的变式）解方程组步骤(16x-y=323x-8y=14分析：(1)从方程的结构来看：例2与例1有什么不同？例2进一步巩固例1是用x=y+3直接代人②的。而例2的两个方程都不具备这样代入法的步的条件都不能直接代入另一条方程骤，重点在于说(2)如何变形？明解二元一次方把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）程组的一些技巧(3)那么选用哪个方程变形较简便呢？通过观察，发现方程中y的系数为一1，因此，可先将方程①变问题，主要表现形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解在如何选择一个1方程，如何用含5+-3,@解：由①得，y=一个未知数的式把③代人②，得（问：能否代入①中？）子去表示另一未1知数.3x-8（=x-3)=14,2所以一x=一10x=10.（问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？）把x=10代入③，得1*x10-3所以y=2[x=10所以y=2（本题可由一名学生口述，教师板书完成）小结与作业合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流.学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言，最及时梳理知识，后，由老师出示幻灯片形成模一用代入小结提高代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤法解二元一次方为:程一般步骤。①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax十b的形式：
解后反思．教师引导学生思考下列问题： (1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？ (2)为什么能代？ (3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？ (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值 较简便？ (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？ （与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数 的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否 相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算） 例 2（为例 1 的变式）解方程组 - = - = 3 8 14 3 2 1 x y x y 分析： (1)从方程的结构来看：例2 与例 1 有什么不同？ 例 1 是用 x=y＋3 直接代人②的．而例2 的两个方程都不具备这样 的条件都不能直接代入另一条方程． (2)如何变形？ 把一个方程变形为用含x 的式子表示 y（或含 y 的式子表示 x）． (3)那么选用哪个方程变形较简便呢？ 通过观察，发现方程①中y 的系数为－1，因此，可先将方程①变 形，用含 x 的代数式表示y，再代入方程②求解． 解：由①得，y= 3 2 1 x - ，③ 把③代人②，得（问：能否代入①中？） 3x－8（ 3 2 1 x - ）=14， 所以－x=－10, x=10. （问：本题解完了吗？把y=37 代入哪个方程求 x 较简单？） 把 x=10 代入③，得 y= 10 3 2 1 x ´ - 所以 y=2 所以 = = 2 10 y x （本题可由一名学生口述，教师板书完成） 这样处理降 低了难度， 利于分阶段 达成本课的 知 识 目 标．本例的 重点在于让 学生掌握代 入法的基本 步骤． 例 2 进一步巩固 代 入 法 的 步 骤．重点在于说 明解二元一次方 程组的一些技巧 问题，主要表现 在如何选择一个 方程，如何用含 一个未知数的式 子去表示另一未 知数． 小结与作业 小结提高 合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主 要步骤有哪些呢？与你的同伴交流． 学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最 后，由老师出示幻灯片． 代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤 为： ①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中 的一个未知数，例如 y，用含 x 的式子表示出来，也就是化成y=ax＋b 的形式； 及时梳理知识， 形成模—用代入 法解二元一次方 程一般步骤