3. 0α =0, k0 = 0, (-1)α =-α,k(α-β) = kα-kβ证明：由 0α+α=(0+1)α=α,两边加上-α 即得 00;由 kα=k(α+O)=kα+k0两边加上 -kα ；即得k 0=0由 α+(-lα) =lα+(-lα) =(1-1)α= 0α =0两边加上一α即得(-1)α=-α;由k(α-β)+kβ=k(α-β+β)=kα两边加上-kβ即得 k(α-β)=kα-kβ
两边加上 即得 0 ＝0； 由 k k k k ( 0) 0 两边加上 k ；即得k 0＝0 ; 由 ( 1 ) 1 ( 1 ) (1 1) 0 0 两边加上－ 即得 ( 1) ; 由 k k k k ( ) ( ) 两边加上 k 即得 k k k ( ) . 0 0, 0 0, ( 1) , ( ) k k k k 3. 证明：由 0 (0 1) ,
kα=0，那么k=0或α=0.4. 如果证明：假若k≠0，则α=(k-k)α= k-l(kα) = k-0 = 0.作业：1、P273：习题31）2）4)2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零向量，则V一定含有无穷多个向量
4.如果 k ＝0，那么k＝0或 ＝0. 1 1 1 ( ) ( ) 0 0. k k k k k 证明：假若 k 0, 则 作业： 1、P273：习题3 1）2）4） 2、证明：数域P上的线性空间V若含有一个非零 向量，则V一定含有无穷多个向量
证： 设 αeV,且α±0Vk,k,eP,k ±k, 有 kα,k,αV又 k,α-k,α=(k -k,)α± 0故k,α±k,α而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量注：只含一个向量一零向量的线性空间称为零空间
证：设 V, 0 且 1 2 1 2 1 2 k k P k k k k V , , , , 有 1 2 1 2 又 k k k k － ( ) 0 1 2 故k k . 而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量. 注 :只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间
S 6.3 维数、基与坐标1.向量空间(P",+,)与线性空间（P[xl，+，)中定义结论的平移2.维数、基与坐标
2.维数、基与坐标 §6.3 维数、基与坐标 1.向量空间 n （P ,+,）与线性空间（ P x [ ] , , ）中 定义结论的平移
一.向量空间(P",+,)与线性空间（P[xl，+，·)1.定义结论的平移设V是数域P上的一个线性空间(1) α,α2,,α, EV(r ≥l), k,k2,,k, EP, 和式kα, +k,α2 +...+k,α,称为向量组αi,α2,,α,的一个线性组合.(2) α,α2,,αr,βV,若存在 k,k2,,k,E P使 β=kαi +k,αz +...+k,α,则称向量β可经向量组线性表出：α1,α2,,αr
设V 是数域 P 上的一个线性空间 （1） 1 2 1 2 , , , ( 1), , , , , r r V r k k k P 和式 1 1 2 2 r r k k k 称为向量组 的一个线性组合． 1 2 , , , r （2） 1 2 , , , ,r V ，若存在 1 2 , , , r k k k P 则称向量 可经向量组 1 2 , , , r 线性表出； 1 1 2 2 r r 使 k k k 一.向量空间 n （P ,+,）与线性空间（ P x [ ] , , ） 1.定义结论的平移