记(")=，(mk")=，则得到（x,）的两个子列（与(它们收敛于不同的极限。10.若数列（x)无界，但非无穷大量，则必存在两个子列（）与（e，其中（x）是无穷大量，（x）是收敛子列。证由于数列(x)不是无穷大量，所以3M>0，使得数列(x)中有无穷多项满足xn<M，于是从中可以取出数列(x,)的一个收敛子列(xm）。又由于数列(x)无界，所以对VG>0，数列(x,)中必有无穷多项满足|xn|>G。取G=1，则3n，使得m>Gj，取G,=2，则3nz>n，使得m>G2，取Gz=k，则3nk>nk-1，使得m>Gk，记(n）=)，(m）=，则得到（x,）的两个子列(）与(其中（）是无穷大量，（）是收敛子列。11.设s是非空有上界的数集，supS=αES。证明在数集s中可取出严格单调增加的数列(x,)，使得limx=a。证由sup=aS，可知>0，xeS，使得a-<x。先取=1，则xS，使得a-<a；对2=min,a-x>0,则xS，使得a-<，其中x=-(a-)≤x对8,=min,a-x)>0，则,eS，使得a-6,<<a，其中x2=a-(a--2)≤a-83<x3 对8,=min(,a-.-1)>0,则3x, eS,使得a--,<x,a，其中x--=a-(a-x--)≤a-,,；。由此在数31
记{ } { } (1) "k k n = n ，{ } { } (2) "k k m = n ，则得到｛ ｝的两个子列{ }与{ }， 它们收敛于不同的极限。 xn (1) k n x ( 2) k n x 10. 若数列{ }无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{ }与 { }，其中｛ ｝是无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 xn (1) k n x ( 2) k n x (1) k n x ( 2) k n x 证 由于数列{ xn }不是无穷大量，所以∃M > 0，使得数列{ }中有无 穷多项满足 xn xn ≤ M ，于是从中可以取出数列{ }的一个收敛子列 { }。又由于数列{ }无界，所以对 xn mk x xn ∀G > 0，数列{ }中必有无 穷多项满足 xn xn > G 。 取G1 = 1，则∃n1，使得 1 G1 xn > ， 取G2 = 2，则∃n2 > n1，使得 2 2 xn > G ， "", 取Gk = k ，则∃nk > nk−1，使得 n Gk x k > ， "". 记{ } { } (1) k k n = n ，{ } { } (2) k k m = n ，则得到｛ xn ｝的两个子列{ xnk (1) }与{ xnk ( 2) }， 其中｛ xnk (1) ｝是无穷大量，｛ xnk ( 2) ｝是收敛子列。 11. 设S 是非空有上界的数集，sup S = a ∈ S 。证明在数集S 中可取 出严格单调增加的数列{ xn }，使得lim n→∞ xn = a 。 证 由sup S =a ∈ S ，可知∀ε > 0，∃x ∈ S ，使得a − ε < x < a。 先取 1 ε 1 = ，则∃x1 ∈ S ，使得a − < x < a 1 1 ε ；对 , } 0 2 1 min{ ε 2 = a − x1 > ， 则∃x2 ∈ S ，使得a − < x < a 2 2 ε ，其中 1 1 2 2 x = a − (a − x ) ≤ a − ε < x ；对 , } 0 3 1 min{ ε 3 = a − x2 > ，则∃x3 ∈ S ，使得a − ε 3 < x3 < a ，其中 2 2 3 3 x = a − (a − x ) ≤ a − ε < x ；""； 对 , } 0 1 min{ n = a − xn−1 > n ε ，则∃xn ∈ S ， 使得a − ε n < xn < a ，其中 n n n n x = a − a − x ≤ a − < x − − ( ) ε 1 1 ；""D由此在数 31
集s中取到了严格单调增加的数列x,)，使得limx,=a。12.设((α，b,）)是一列开区间，满足条件：() a, <a,<.<a,<...<b,<...<b,<b,,(2) lim(b, -a,)=0。证明存在唯一的实数属于所有的开区间（αn，b,），且E=lim a,=lim b, o证根据题意，(a,)单调增加有上界，(b,)单调减少有下界，因此都收敛。设lima,=5，则limb,=lim[a,+(b,-a,)]=5。由于(an)严格单调增加，(b)严格单调减少，可知Vn，有a,<<bn，即=属于所有的开区间(an,b,）)。若存在另一属于所有的开区间(an,b,），则由an<5<bn，利用极限的夹逼性，得到s"=liman=limb,=5，即满足题意的=是唯一的。13.利用Cauchy收敛原理证明下述数列收敛：(1)x=a+ag+aag+.+ag"(gl <1, a/≤ M);11+(-1)+ !(2) , = 1-+-n[n (-ab ,MM取N当n>N时，成立证 （1)(0<8 In|gl1-qagM(+9+++l-C(-1)(2）Vs>0，取N=[]，当n>N时，成立n+1<6。1614.（1）设数列（x,)满足条件lim|xn+1-x,|=0，问（x，)是否一定是基本数列。32
集S 中取到了严格单调增加的数列{ xn }，使得lim n→∞ xn = a 。 12. 设{( an ,bn )}是一列开区间，满足条件： 1 2 n n 2 1 (1) a ＜a ＜.＜a ＜.＜b ＜.＜b ＜b ， (2) lim (b )=0。 n→∞ n − an 证明存在唯一的实数 ξ 属于所有的开区间 ( , ) ， 且 = =lim 。 an bn ξ lim n→∞ an n→∞ bn 证 根据题意，{an }单调增加有上界，{bn }单调减少有下界，因此都收 敛。设 lim n→∞ an = ξ ，则 lim n→∞ bn = lim n→∞ [an + (bn − an )] = ξ 。由于 严格单调 增加， 严格单调减少，可知 {an } {bn } ∀n，有an < ξ < bn ，即ξ 属于所有的开 区间( an ,bn )。 若存在另一ξ '属于所有的开区间( an ,bn )，则由an < < bn ξ ' ，利用极 限的夹逼性，得到 →∞ = n ξ ' lim an = lim n→∞ bn = ξ ，即满足题意的ξ 是唯一的。 13. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述数列收敛： (1) x = a a n q a q an qn 0 1 2 2 + + +"+ ( q 1, a M ) < k ≤ ； (2) x = n 1 1 2 1 3 1 11 − + − + − " + ( ) n n 。 证 （1） ) 1 (0 q M − ∀ε < ε < ，取 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = q M q N ln (1 ) ln ε ，当n > N 时，成立 (1 ) 1 2 1 1 + − − = + ∑ ≤ + + + + n m n m k n k ak q M q q q " q < ε − < +1 1 n q q M 。 （2）∀ε > 0，取 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ε 1 N ，当n > N 时，成立 < ε + ∑ − < = + + 1 1 1 ( 1) 1 1 k n m k n k 。 14. (1) 设数列{ x }满足条件 | n limn→∞ xn+1 n − x | = 0，问{ }是否一定是基本 数列。 xn 32
(2）设数列(x，满足条件1x+1-x，1（n=12,3,.）。证明(x）)是基本数列。1.1.1解（1）不一定。反例：x，=1+123nIngVm>n>N，成立(2) Ve(0<6<1),取N=1+][xm - x,≤|xm-Xm-|+|xm-I -Xm-2|+..+|xn+1 -x,118...2″*21+.2 m-15.对于数列（x）构造数集Ak：Ak =(x I n≥k]=(xh,k+1,"]记diamA,=sup(|x,-xm，x,A，xmA)，证明数列(x,)收敛的充分必要条件是limdiamAk=0。证因为limdiamA=0，s>0，K，Vk>K，成立diamA<。取N=K，则Vm>n>N，成立xm-x|≤diamAk+1<。16.利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。证采用反证法。不妨设，是单调增加的有界数列。假设它不收敛，则36>0,VN>0,3m,n>N:[xm-x,|>80取N,=1,3m,>n>N,:Xm-X,>80;取N2=m,3m2>nz>N2:m-Xm>80;取,=-13m>>Nm-m>80于是xm-x>k8→+(k→0)，与数列(x,)有界矛盾。33
(2) 设数列{ xn }满足条件｜ xn+1 n − x ｜＜ 1 2n （n = 1 2, ,3,"）。证明{ } 是基本数列。 xn 解（1）不一定。反例： n xn 1 3 1 2 1 =1+ + +"+ 。 （2）∀ε (0 < ε < 1)，取 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = + 2 1 ln ln 1 ε N ，∀m > n > N ，成立 m n m m m m n n x − x ≤ x − x + x − x + + x − x −1 −1 −2 " +1 ⎟ < ε ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + + + < − + − 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n " m 。 15. 对于数列｛ xn ｝构造数集 k ： k n A A = { x ｜n≥k }={ xk , xk +1 ,.}。 记 diam A {｜ ｜，x k = sup xn − xm n ∈ Ak , xm ∈ Ak }，证明数列{ xn }收敛的充 分必要条件是 lim k→∞ diam Ak = 0。 证 因为lim diam = 0， k→∞ Ak ∀ε > 0，∃K ，∀k > K ，成立 diam < ε Ak 。取 N = K ，则∀m > n > N ，成立 xm − xn ≤ diam < ε Ak+1 。 16. 利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必定收敛。 证 采用反证法。不妨设{ 是单调增加的有界数列。假设它不收敛， 则 xn } ∃ε 0 > 0，∀N > 0，∃m,n > N ： 0 − > ε m n x x 。 取 1, : ; 1 1 1 1 0 1 1 = ∃ > > − > ε m n N m n N x x "" , : ; 2 1 2 2 2 2 2 0 = ∃ > > − > ε m n 取N m m n N x x . , : ; 1 0 "" = ∃ > > − > ε − k k k k k k k m n 取N m m n N x x 于是 ( ) 0 1 xm − xn > k → +∞ k → ∞ k ε ，与数列{xn }有界矛盾。 33
第三章函数极限与连续函数习题3.1函数极限1.按函数极限的定义证明：(1) lim x3 =8;(2) lim Vx = 2;x+11x-1 =1(3) lim(4) lim22;(→02x-1x→3x+1(6) lim e-*=0;(5) limlnx =-00;2x(7) lim(8) lim+00;-8x-→2+ x2 - 400x+1证（1）先取x-2<1，则1<x<3，x3-8=(x2+2x+4)(x-2)<19x-2，于是对任意的s>0，取=minl1,>0，当0<x-2<8时，成立19x3-8<19x-2<8，所以lim x3=8。（2）首先函数的定义域为x≥0，且x-2=x-4，于是/x+2对任意的ε>0，取=min(4,2)>0，当0<x-4<时，成立Vx-2x-4<8，所以lim Vx=2。（3）先取x-3<1，则2x<4，--=x-3，于是对任x+12-2(x+1)意的ε>0，取=min(1,6s)>0，当0<x-3<时，成立---3<6，所以x+1 2lim-1243 x +133x+1 1（4）先取>1，则2x-≥风，于是对任意2x-12-22x-1*2当>X时，成立13的>0，取X=max(1二]>0，<62x-1~2|~22g所以x+1_1lim2x-1234
第三章 函数极限与连续函数 习 题 3.1 函数极限 1. 按函数极限的定义证明： ⑴ lim x→2 x 3 ＝8； ⑵ lim x→4 x = 2； ⑶ lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 ； ⑷ lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 ； ⑸ lim ln x x → +0 = − ∞； ⑹ lim x→+∞ e− x ＝0； ⑺ lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞； ⑻ lim x→−∞ x x 2 +1 = −∞。 证 （1）先取 x − 2 < 1，则1 < x < 3， 8 ( 2 4)( 2) 19 2 3 2 x − = x + x + x − < x − ， 于是对任意的ε > 0，取 0 19 min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε δ ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 − 8 < 19 − 2 < ε 3 x x ，所以 lim x→2 x 3 ＝8。 （2）首先函数 x 的定义域为 x ≥ 0，且 4 2 1 2 4 2 ≤ − + − − = x x x x ，于是 对任意的 ε > 0 ， 取 δ = min{4,2ε} > 0 ， 当 0 < x − 4 < δ 时，成立 − ≤ − 4 < ε 2 1 x 2 x ，所以 lim x→4 x = 2。 （3）先取 x − 3 < 1，则2 < x < 4， 2( 1) 3 2 1 1 1 + − − = + − x x x x 3 6 1 < x − ，于是对任 意 的 ε > 0 ， 取 δ = min{1,6ε}> 0 ， 当 0 < x − 3 < δ 时，成立 2 1 1 1 − + − x x < − 3 < ε 6 1 x ，所以 lim x→3 x x − + 1 1 ＝ 1 2 。 （4）先取 x > 1，则 2x −1 ≥ x ， 2 1 2 1 1 − − + x x 2 2 1 3 − = x 2 x 3 ≤ ，于是对任意 的ε > 0，取 0 2 3 max 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ε X ，当 x > X 时，成立 2 1 2 1 1 − − + x x ≤ < ε 2 x 3 ， 所以 lim x→∞ x x + − 1 2 1 = 1 2 。 34
（5）对任意的G>0，取=e-G>0，当0<x<时，成立lnx<-G，所以lim lnx=-o0。x→04(6)对任意的0<<1,取X=ln-1>0,当x>X时,成立0<e-x<elnc=6,S所以lim e*=0。T2x(7）先取0<x-2<1，则2<x<3,>1，于是对任意的G>0，取x+22x1112x当0<x-2<8时，成立=min1>G x2 -4(x+2)(x-2)x-2G所以2xlim=+800X-2+ x2 - 4（8）先取x<-1，则×>1，于是对任意的G>0，取X=max(l,G),x+I当x<-X时，成立兰<x<-G，所以x+1x2lim8-00 x + 12.求下列函数极限：x?-1x2-1() 2x-x-1(2) lim2x2-x-13x5-5x3+2x(1+2x)(1+ 3x)-1(3) lim(4) limxx-x3+3xx-→0x-→0(1+ x)" -1(1 + mx)" -(1+ nx)m(5) lim(6) limx2-0xT-2sinx-sina(7) lim(8) limx-aI-01-coSxx-→acosx-cos3xtan x-sin x(9) lim(10) limxr2x3-0x→0解x?-12x+1(1) lim= limx-1 2x-x-1 x-1 2x+13x2 -11(2)lim2x2-x-1=2°X→003x5-5x3+2x2-5x2+3x4_2(3)limlimx5-x3+3x33- x2 + x4x→0X->0(1+ 5x +6x2)-1(1+ 2x)(1+ 3x) -1(4)limlim=5.X0xx-0x35
（5）对任意的G > 0，取δ = e−G > 0，当0 < x < δ 时，成立 ，所 以 ln x < −G lim ln x x → +0 = −∞。 （6）对任意的0 < ε < 1，取 0 1 = ln > ε X ，当 时，成立 ， 所以 x > X ε ε < < = − ln 0 e e x lim x→+∞ e− x ＝0。 （7）先取0 < x − 2 < 1，则2 < x < 3， 1 2 2 > x + x ，于是对任意的G > 0，取 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = G 1 δ min 1, ，当0 < x − 2 < δ 时，成立 G x x x x x x > − > + − = − 2 1 ( 2)( 2) 2 4 2 2 ， 所以 lim x→ +2 2 4 2 x x − = +∞。 （8）先取 x < −1，则 1 1 > x + x ，于是对任意的 ，取 ， 当 时，成立 G > 0 X = max{1,G} x < −X x G x x < < − +1 2 ，所以 lim x→−∞ x x 2 +1 = − ∞。 2. 求下列函数极限： ⑴ lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑵ lim x→∞ x x x 2 2 1 2 1 − − − ； ⑶ lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x x x − + − + x ； ⑷ lim x→0 ( ) 1 2 + x x (1+ 3 ) −1 x ； ⑸ lim x→0 ( ) 1 1 + − x x n ； ⑹ lim x→0 ( ) 1 1( ) 2 + − mx + nx x n m ； ⑺ lim x a → sin x a sin x a − − ； ⑻ lim x→0 x x 2 1− cos ； ⑼ lim x→0 cos x x cos x − 3 2 ； ⑽ lim x→0 3 tan sin x x − x 。 解 （1）lim x→1 x x x 2 2 1 2 1 − − − 1 lim → = x = + + 2 1 1 x x 3 2 。 （2）lim x→∞ = − − − 2 1 1 2 2 x x x 2 1 。 （3）lim x→0 3 5 2 3 5 3 5 3 x x x 0 lim → = x x x x − + − + = − + − + 2 4 2 4 3 2 5 3 x x x x 3 2 。 （4）lim x→0 = + + − x (1 2x)(1 3x) 1 lim x→0 = + + − x (1 5x 6x ) 1 2 5。 35