-x=-0,可知()归纳法可知Vn,x,>-1。由m-x,=2+x,2+Xn-1是单调减少有下界的数列，因此收敛。设mx，=a，对等式.-2+x两端求极限，得到方程α=二，解此方程，得到a=-1，因此2+alim x, = -1 。（4）首先有0<X=1<4，设0<<4，则0<×+1=/4+3<4，由数学归纳法可知Vn，0<x<4。由x2+-x=4+3x,-xz=(4-x,)1+x,)>0，可知(xn)是单调增加有上界的数列，因此收敛。设limx,=a，对等式X+1=/4+3x，两端求极限，得到方程α=/4+3a，解此方程，得到a=4，因此lim Xn =4。（5）首先有0<x<1，设0<<1，则0<×+=1-/1-<1，由数学归纳法可知Vn，0<x<1。由xn+1-x,=1-x-/1-x,<0，可知(x)是单调减少有下界的数列，因此收敛。设limx,=a，对等式x1=1-/1-x,两端求极限，得到方程a=1-V1-a，解此方程，得到a=0（另一解a=1舍去），因此limxn=0。（6）首先有0<x<1，设0<<1，则0<+=x(2-x)<1，由数学归纳法可知Vn，0<x,<1。由xn+1-x,=x,(2-x)-,=x,(1-xn)>0，可知(x)是单调增加有上界的数列，因此收敛。设limxn=a，对等式xn1=x,(2-x,)两端求极限，得到方程a=a(2-a)，解此方程，得到a=1（另一解a=0舍去），因此26
归纳法可知∀n，xn > −1。由 xn+1 − xn = − = + − n n x 2 x 1 0 2 ( 1) 2 < + + − n n x x ，可知 是单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= − + 1 2 xn 两端求极限，得到方程 a a + − = 2 1 ，解此方程，得到a = −1，因此 lim = −1 →∞ n n x 。 （4）首先有0 < x1=1 < 4，设0 < xk < 4，则0 < k+1 x = 4 + 3xk < 4，由数 学归纳法可知∀n，0 < xn < 4。由 + − = 2 2 n 1 n x x 2 4 3 n n + x − x = (4 − xn )(1+ xn ) > 0， 可知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 4 3 + xn 两端求极限，得到方程a = 4 + 3a ，解此方程，得到 ， 因此 a = 4 lim = 4 →∞ n n x 。 （5）首先有0 < x1 < 1，设0 < xk < 1，则0 < k+1 x =1− 1− xk < 1，由数学 归纳法可知∀n，0 < xn < 1。由 xn+1 − xn = 1− xn − 1− xn < 0，可知 是 单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= n 1− 1− x 两端求极限，得到方程a = 1− 1− a ，解此方程，得到a = 0（另一解 舍去），因此 a = 1 lim = 0 →∞ n n x 。 （6）首先有0 < x1 < 1，设0 < xk < 1，则0 < k+1 x = xk (2 − xk ) < 1，由数学 归纳法可知∀n，0 < xn < 1。由 xn+1 − xn = xn (2 − xn ) − xn = xn (1− xn ) > 0，可 知 是单调增加有上界的数列，因此收敛。设 ，对等式 = (2 )两端求极限，得到方程 { }n x x a n n = →∞ lim xn+1 xn n − x a = a(2 − a)，解此方程，得到 （另一解 舍去），因此 a = 1 a = 0 26
limx,=1。n>003.利用递推公式与单调有界数列的性质，证明：23.4n+1(1) lim =0;1m3572n+1a"(2) lim =0(a>1); n!n!(3) lim =0。n-00 n'nE(1)设,=2.3.4.n+1则x,>0，=2<1，所以(x,)是证3572n+12n+3xn单调减少有下界的数列，因此收敛。设1limx=a，对等式.=-"+22n+3*m1两端求极限，得到α=，于是α=0，因此Sa,234n+1lim =0。3572n+1，则x>0，且当n>a时，=（2）设x=9一<1，所以(x)从n!n+1Xn某一项开始是单调减少有下界的数列，因此收敛。设limx,=x，对等a式x+I=x，两端求极限，得到x=0，因此t1a"lim=0。n-→00n!=(1+)（3）设x=，则x>0，于>1，所以(x,)是单调减少有n"nXn+lxn+两端求极下界的数列，因此收敛。设limx，=a，对等式x1+n限，得到a=ea，于是a=0，因此a"lim =0。n-→ n!4设n=123,.，分x=1与x=-2两种情况求27
lim = 1 →∞ n n x 。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； (2) lim n→∞ a n n ! = 0 ( a＞1)； (3) n→∞ lim 0 ! = n n n 。 证 （1）设 2 1 1 7 4 5 3 3 2 + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n n xn " ，则 xn > 0， 1 2 3 1 2 < + + = + n n x x n n ，所以 是 单调减少有下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= n x n n 2 3 2 + + 两端求极限，得到a a 2 1 = ，于是a = 0，因此 lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n 。 （2）设 n! a x n n = ，则 xn > 0，且当n > a 时， 1 1 1 < + = + n a x x n n ，所以 从 某一项开始是单调减少有下界的数列，因此收敛。设 ，对等 式 = { }n x x x n n = →∞ lim xn+1 n x n a +1 两端求极限，得到 x = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 （3）设 n n n n x ! = ，则 xn > 0， 1 1 1 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + n n n x n x ，所以 是单调减少有 下界的数列，因此收敛。设 { }n x x a n n = →∞ lim ，对等式 1 1 1 ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + n n n x n x 两端求极 限，得到a = ea，于是a = 0，因此 lim n→∞ a n n ! = 0。 4. 设 xn+1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 , n = 1 2, ,3," ，分 x1 = 1 与 2 x1 = − 两种情况求 27
limx.解对xj=l，易知Vn，x,>0，且当n≥2时，x,≥V2。由=-+一≤0，可知数列()单调减少有下界，所以收敛。设Xn-X,:2xn172 1(a+2)，解得两端求极限，得到α=limx,=a，对等式x+x. +2(2x,aa=2（a=-V舍去），因此lim X, = 2。_x+11≥0，可知数对x=-2，易知Vn，X,≤-/2。由xu+1-x,=2Xn172列(，)单调增加有上界，所以收敛。设limx=b，对等式xt+2x两端求极限，得到b=1(b+)，解得b=-/2（b=2舍去），因此2.blim X,=-V2。5. 设* = a,x = b.m2 =m （n=12,.),求lim。2解首先利用递推公式x+1-x,=2(x,-Xm-1)，得到数列(m-x,)的通(b-α)。于是由项公式x+1-XnX, =X+ +(2 -x)+(, -x)+(x, - -1) = a +(b-a)2(- )得到a+2blim x,=936.给定0<a<b，令x=a,y=b。()若m= Vxy,， ymm =（n=12,3.),2证明（x,)，（y,）收敛，且limx=limyn。这个公共极限称28
lim n→∞ xn 。 解 对 x1 =1，易知∀n， xn > 0，且当n ≥ 2时， xn ≥ 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≤ n n n n x x x x ，可知数列{xn }单调减少有下界，所以收敛。设 xn a，对等式 = n = →∞ lim xn+1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 a a = a + ，解得 a = 2 （a = − 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = 2 。 对 x1 = −2 ，易知∀n， xn ≤ − 2 。由 0 1 2 +1 − = − + ≥ n n n n x x x x ，可知数 列{xn }单调增加有上界，所以收敛。设 x b n n = →∞ lim ，对等式 xn+1= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n x x 2 2 1 两端求极限，得到 ) 2 ( 2 1 b b = b + ，解得b = − 2 （b = 2 舍去），因此 lim n→∞ xn = − 2 。 5. 设 x = a , = b , 1 x2 x x x n n n + + = + 2 1 2 （n = 1 2, ,3,"），求lim 。 n→∞ xn 解 首先利用递推公式 ( ) 2 1 n+1 − n = − n − n−1 x x x x ，得到数列{ }的通 项公式 n n x − x +1 ( ) 2 1 1 1 x x b a n n n ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − + 。于是由 ( ) ( ) ( ) n = 1 + 2 − 1 + 3 − 2 + + n − n−1 x x x x x x " x x ∑ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − − 1 0 2 1 ( ) n k k a b a ， 得到 lim n→∞ xn 3 a + 2b = 。 6. 给定 0＜a ＜b，令 x1 = a , y1 = b。 (1) 若 x = n+1 x yn n ， yn+1 = x y n + n 2 （n = 1 2, ,3,"）， 证明｛ xn ｝，｛ yn｝收敛，且lim = 。这个公共极限称 n→∞ xn lim n→∞ yn 28
为α与b的算术几何平均；=2（n=123..),证明（x,),(y,)(2) 若 =, mm =2x,+yn收敛，且limx,=limy，。这个公共极限称为a与b的算术调和平均。证（1)首先易知Vn，有x≤yn。由xn+1-x,=/x（/-/x）≥0，yn+1-ym(x,-n)≤0，得到a≤x,<xm+<n+1<y,≤b，即(,)是单调增加有上界的数列，,)是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设limx，=x，limy,=y，对y="的两端求极限，得到x=y。2（2）首先易知当n≥2时，有x,≥J。由x+1-x,=(y,-x）0，-,=(≥0，得到当n≥2时,Xn+yn2abm<xb，即6)是单调增加有上界的数列，)a+b2是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设limx,=x，limyn=y，对x=的两端求极限，得到x=。27. 设x, = /2,m = 2+x,（n=1,2,3..），证明数列（x）收敛，并求极限limx，。解当0<x</-1时，有x+>/-1；当x>V-1时，有0<xn+1 </2-1。由于x=V2>/2-1，得到Vn，x2m+1>V2-1，0<x2m<~2-1。于是由22- --2(+++)0,X2m+1 - X2m-I = 5+ 2×2m-15 + X2n-1= -2(2m - 2 +1(2n + /2 +1) 0 ,2+X2m-X2nX2n+2—X2n=25+2x2n5+X2m29
为a与b 的算术几何平均； (2) 若 x = n+1 x y n n + 2 , y = n+1 2x y x y n n n n + （n = 1 2, ,3,"），证明｛ ｝,{ } 收敛，且 = 。这个公共极限称为 与 的算术调和 平均。 xn yn lim n→∞ xn lim n→∞ yn a b 证（1）首先易知∀n，有 xn ≤ yn 。由 xn+1 − xn = xn ( yn − xn ) ≥ 0，n n y − y +1 ( ) 0 2 1 = xn − yn ≤ ，得到a ≤ xn < xn+1 < yn+1 < yn ≤ b，即{xn }是单调增加有上 界的数列，{ 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设 ， ，对 = yn } lim n→∞ x x n = lim n→∞ y y n = yn+1 x y n + 2 n 的两端求极限，得到 x = y 。 （2）首先易知当 n ≥ 2时，有 xn ≥ yn 。由 n n x − x +1 ( ) 0 2 1 = yn − xn ≤ ， n n y − y +1 0 ( ) ≥ + − = n n n n n x y y x y ，得到当n ≥ 2时， 2 2 1 1 a b y y x x a b ab n n n n + ≤ < < < ≤ + + + ，即{yn }是单调增加有上界的数列，{ } 是单调减少有下界的数列，所以它们收敛。设 n x lim n→∞ x x n = ， ， 对 = lim n→∞ y y n = n+1 x x y n + 2 n 的两端求极限，得到 x = y 。 7. 设 x = 1 2 , x = n+1 1 2 + xn （n = 1 2, ,3,"），证明数列｛ ｝收敛，并 求极限 。 xn lim n→∞ xn 解 当0 < xn < 2 −1时，有 xn+1 > 2 −1；当 xn > 2 −1时，有 0 < xn+1 < 2 −1。 由于 x1 = 2 > 2 −1，得到∀n， x2n+1 > 2 −1，0 < x2n < 2 −1。于是由 x2n+1 − x2n−1 = − = + + − − − 2 1 2 1 2 1 5 2 2 n n n x x x 0 5 2( 2 1)( 2 1) 2 1 2 1 2 1 < + − − + + + − − − n n n x x x ， x2n+2 − x2n = − = + + n n n x x x 2 2 2 5 2 2 0 5 2( 2 1)( 2 1) 2 2 2 > + − − + + + n n n x x x ， 29
可知数列(x2n-1)单调减少有下界，数列(x2n)单调增加有上界，从而都收敛。2+×2n两2+X2m-L与x2+2= 5+2x2n设lim×2n=a，lim×2m-1=b，对等式x2m+=5+2X2n-l浦求极限，得到方程。-与b一二岁，解此两方程。得到解5+2aa=V2-1与b=/2-1（另两解a=-/-1与b=-/2-1舍去），因此lim xn =V2-1。8.设（x,）是一单调数列，证明limx，=α的充分必要条件是：存在（x,）的子列（xm）满足limxm=a。证必要性显然，现证充分性。不妨设（x,）单调增加，limx=a，则Vs>0,3K,Vk>K:-6<Xm-a≤0。 取N=nk+I,Vn>N,3M>K+1，使得nk+I<n<nm，于是-8<xk-a≤x,-a≤xm-a≤0,因此limx,=a。9.若有界数列（x）不收敛，则必存在两个子列（x）与（xm}收敛于不同的极限，即lm=a，lm=b，ab。证由于（x，）不收敛，所以36>0，VN，m>n>N：xm-x≥60。取N,=1,3m,>n >Ni:m-xm|≥80,取N2=m，3m2>n2>N2:m-Xm≥60.取N,=m-1,3m>k>Nk：*m-Xm|≥60于是得到（x，）的两个子列（xm）与（xm），它们都是有界数列。首先（xm）具有收敛子列（xm，），由于对应的（xm，）也是有界数列，又具有收敛子列（xm）。30
可知数列{x2n−1}单调减少有下界，数列{x2n }单调增加有上界，从而都 收敛。 设lim = ， ，对等式 n→∞ n x2 a lim n→∞ x2n−1 = b x2n+1 = 2 1 2 1 5 2 2 − − + + n n x x 与 x2n+2 = n n x x 2 2 5 2 2 + + 两 端求极限，得到方程 a a a 5 2 2 + + = 与 b b b 5 2 2 + + = ，解此两方程，得到解 a = 2 −1与b = 2 −1（另两解a = − 2 −1与b = − 2 −1舍去），因此 lim = 2 −1 →∞ n n x 。 8. 设｛ ｝是一单调数列，证明 = 的充分必要条件是：存在 ｛ ｝的子列{ }满足 xn lim n→∞ xn a xn xnk lim k→∞ xnk = a 。 证 必要性显然，现证充分性。不妨设｛ xn ｝单调增加，lim ， k→∞ xnk = a 则∀ε > 0，∃K ，∀k > K ：− < x − a ≤ 0 nk ε 。 取 = K+1 N n ，∀n > N ， ∃M > K +1 ，使得nK+1 < n < nM ，于是 0 1 − < − ≤ − ≤ − ≤ + x a x a x a nK n nM ε ， 因此lim =a。 n→∞ xn 9. 若有界数列｛ ｝不收敛，则必存在两个子列{ }与{ }收敛 于不同的极限，即 = ， = b， ≠b。 xn (1) k n x ( 2) k n x lim k→∞ (1) k n x a lim k→∞ ( 2) k n x a 证 由于｛ xn ｝不收敛，所以∃ε 0 > 0，∀N ，∃m > n > N ： 0 − ≥ ε m n x x 。 取 N1 = 1，∃m1 > n1 > N1： 0 1 1 − ≥ ε m n x x ， 取 N2 = m1，∃m2 > n2 > N2： 2 2 0 − ≥ ε m n x x ， "", 取 Nk = mk−1，∃mk > nk > Nk ： 0 − ≥ ε mk nk x x ， "". 于是得到｛ ｝的两个子列｛ ｝与｛ ｝，它们都是有界数列。 首先｛ ｝具有收敛子列｛ ｝，由于对应的｛ ｝也是有界数列， 又具有收敛子列｛ ｝。 xn nk x mk x nk x ' nk x ' mk x " mk x 30