《复变函数论》课程教学资源（书籍文献）数学分析解答（共十六章）

C,x+C2x?+...+x"(1+x)" -1(5)limlim=n。x→0-0xx(1+mx)" -(1+ nx)m(6)limx2x-→0(1+nmx+C,m?x?+...+m"x")-(1+mnx+C2n?x?+...+n"x")= limx2x->01-nm(n-m)。2x+ax-a2cossinsinx-sina22(7)lim= lim=cosa。x-ax-ax-→ax-a2t(8)lim= lim2。10X-→01-cosxx2sin2coSx-cos3x2sin4xsin2x(9)lim=lim4x?x2X→01-→02sinxsin2tanx-sinx-(10)lim= limPlox3r→0xcosxx->03.利用夹逼法求极限：1(1) lim x(2) lim x。-→0:→1n.n当有-解（1）Vx>0，由lim-=1，可知x<n+1n+1n-0n+1n[11n+1n+11。Vx<0，当-。由lim有≤xlim<x≤11<n+1x-0+nnxn->00n由此得到可知lim=l。x->0-xlim x-1x→0Lx111(2）当n≤x<n+1,有nmi<x<(n+1)"。由limnn+i=1与lim(n+1)"=1,nn>00得到1lim xx =1。x-→+o4利用夹逼法证明：xk=0(1)lim(a>1，k为任意正整数);x-o arIn* x(k为任意正整数）。(2)=0limxX→+36

（5）lim x→0 = + − x x n (1 ) 1 lim x→0 = + + + x C x C x x n n 1 n 2 2 " n。 （6）lim x→0 2 (1 ) (1 ) x mx nx n m + − + 0 lim → = x 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) x nmx C m x m x mnx C n x n x m m m n n + + n +"+ − + + +"+ ( ) 2 1 = nm n − m 。 （7）lim x a → = − − x a sin x sin a lim x a → x a x a x a − + − 2 sin 2 2cos = cosa。 （8）lim x→0 = − x x 1 cos 2 lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2sin2 2 x x 2。 （9）lim x→0 = − 2 cos cos3 x x x lim x→0 = 2 2sin 4 sin 2 x x x 4。 （10）lim x→0 = − 3 tan sin x x x lim x→0 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x x x x cos 2 2sin sin 3 2 2 1 。 3. 利用夹逼法求极限： ⑴ limx→0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 1 ； ⑵ limx→+∞ x x 1 。 解（1）∀x > 0，当 n x n 1 1 1 < ≤ + ，有 1 1 1 ≤⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ < + x x n n 。由 1 1 lim = →∞ n + n n ，可知 →0+ lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。∀x < 0，当 1 1 1 + − < ≤ − n x n ，有 n n x x 1 1 1 + <⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ 。由 1 1 lim = + →∞ n n n ， 可知 →0− lim x 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。由此得到 0 lim x→ 1 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x x 。 （2）当n ≤ x < n +1，有 n x n n x n 1 1 1 1 < < ( +1) + 。由n→∞ lim 1 1 1 = n+ n 与n→∞ lim ( 1) 1 1 + = n n ， 得到 limx→+∞ 1 1 = x x 。 4. 利用夹逼法证明： (1) limx→+∞ x k a x = 0 (a＞1，k 为任意正整数)； (2) limx→+∞ lnk x x = 0 (k 为任意正整数)。 36

xk, ([x] +1)k(n+1)k由 lim解（1）首先有0<=0即得到ql]ata"n-→00t=0。lim+ a*Ink xtk且当x→+时，有t→+。再利用（1）(2）令lnx=t，let+的结论，即得到In*x=0。limx5.讨论单侧极限：10<x≤1,2x在x=0,1,2三点；(1) f(x)=r1<x<2.2x2<x<3,12 +1在x=0点；(2) f(x)2.1(3) Dirichlet 函数[1，x为有理数，在任意点；D (x) =0.x为无理数，(4) f(x) :在x=(n=1,2,3,.. )。nX1解(1) lim f(x)=+o0, lim f(x)=, lim f(x)=1, lim f(x)=4, lim f(x)=4。2X>0+X→1+x-→2(2)lim f(x)=-1, lim f(x)=1。（3）D(x)在任意点无单侧极限。(4) lim (x)=0, lim f(x)=1。X-x)2n6.说明下列函数极限的情况：sinx(1)lim(2)lime'sinx;x1lim /1+(3)(4) 1limxasin-+→+o(6)lim(5)道limsinx=0。解（1)limx-x(2)lime"sinx极限不存在，所以limesinx极限不lim e"sinx=0,X-→-00-存在。37

解（1）首先有 [ ] ([ ] 1) 0 x k x k a x a x + < < ，由 0 ( 1) lim = + →∞ n k n a n 即得到 limx→+∞ x a k x = 0。 （2）令ln x = t，则 t k k e t x x = ln ，且当 x → +∞时，有t → +∞。再利用（1） 的结论，即得到 limx→+∞ lnk x x = 0。 5. 讨论单侧极限： (1) f (x) = ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < < < < ≤ 2 2 3, , 1 2, , 0 1, 2 1 2 x x x x x x 在 x = 0,1,2 三点； (2) f (x) = 2 2 1 1 1 x x + − 1 ， 在 x = 0 点； (3) Dirichlet 函数 D (x) = 在任意点； ⎩ ⎨ ⎧ 0, , 1, , 为无理数 为有理数 x x (4) f (x) = x 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x 1 , 在 x = 1 n （n = 1 2, ,3,"）。 解（1） = +∞ → + lim ( ) 0 f x x ， 2 1 lim ( ) 1 = → − f x x ，lim ( ) 1 1 = → + f x x ，lim ( ) 4 2 = → − f x x ，lim ( ) 4。 2 = → + f x x （2） lim ( ) 1 0 = − → − f x x ， lim ( ) 1 0 = → + f x x 。 （3）D(x)在任意点无单侧极限。 （4） lim ( ) 0 1 = → − f x n x ， lim ( ) 1 1 = → + f x n x 。 6. 说明下列函数极限的情况： (1) limx→∞ sin x x ; (2) limx→∞ e sin x x ; (3) limx→+∞ x x α sin 1 ; (4) limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ; (5) limx→∞ x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (6) limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 。 解（1）limx→∞ = x sin x 0。 （2） ， x→−∞ lim e sin x = 0 x x→+∞ lim e sin x x 极限不存在，所以limx→∞ e sin x x 极限不 存在。 37

foα<1(3)lim xasin-α=1。X-→+00xα>1=0，所以lim(4)极限不存limimQX-toX在。(5)lim+(-[)=0, μ([]-2一，则 lim(6）取x=1n+2及限不存在。所以lim7.设函数2+exsinxf(x):[ x |ltex问当x→0时，f(x)的极限是否存在？12+exsinx解由于limf(x)=lim=0+1=1xx-0Y12+exsinx2-1=1，所以lim f(x)= lim41X0-X-→0-x1+ex12+exsinxlim f(x) = lim4[x|x->0→(Itex8.设limf(x）=A（a≥0)，证明：limf(x2）=A证设limf(x)=A（a≥0)，则>0，s>0，x(0<x-a<8)，有o>0，则当0<x-a<8时，首先有If(x)-Al<8。取3=min1+2/a]x+a<1+2a，于是02-al=x+Va)(x-Va)<8，从而[f(x2)-Al<6，这就说明了lim f(x2)=A。9.（1)设lim f(x3）=A，证明：lim f(x)=A。38

（3） ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ > = < = →+∞ 1 1 1 0 1 1 lim sin α α α α x x x 。 （4） x→+∞ lim ⎟ = +∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 x x ， x→−∞ lim 0 1 1 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x ，所以limx→∞ 2 1 1 x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 极限不存 在。 （5）limx→∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x x 2 1 1 1。 （6）取 n xn ' 1 = ， 2 1 " 1 + = n xn ，则n→∞ lim 0 1 1 ' ' =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ，n→∞ lim 2 1 1 1 " " =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − n n x x ， 所以 limx→ +0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − x x 1 1 极限不存在。 7．设函数 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = | | sin 1 2 ( ) 4 1 x x e e f x x x 。 问当 x → 0时， f (x)的极限是否存在？ 解 由于 = → + lim ( ) 0 f x x 0 1 1 sin 1 2 lim 4 1 1 0 = + = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + → + x x e e x x x ， = → − lim ( ) 0 f x x 2 1 1 sin 1 2 lim 4 1 0 = − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + → − x x e e x x x ，所以 1 | | sin 1 2 lim ( ) lim 4 1 0 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = → → x x e e f x x x x x 。 8. 设lim = A（a≥0），证明： x a → f (x) lim x a → f x( ) 2 = A 。 证 设lim = A（a≥0），则 x a → f x( ) ∀ε > 0，∃δ '> 0，∀x(0 < x − a < δ ')，有 f (x) − A < ε 。取 0 1 2 ' min 1, > ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + = a δ δ ，则当 0 < x − a < δ 时，首先有 x + a < 1+ 2 a ，于是 < x − a 2 0 = (x + a)(x − a) < δ ' ，从而 f (x ) − A < ε 2 ，这就说明了 lim x a → f x( ) 2 = A 。 9. (1) 设 = A，证明： = A 。 0 lim x→ ( ) 3 f x 0 lim x→ f (x) 38

(2）设limf(x2）=A，问是否成立limf(x）=A？证（1）设limf(x3）=A，则V>0，8>0，Vx(0<<）（即0<x3<83)，有(x3)-A<。取=83>0，则当0<<时，有<，从而|f(x)-A<6，这就说明了lim(x)=A。<-1 x>0(2)当limf(x2)=A时，不一定成立limf(x)=A。例如：f(x)=10 x<0则limf(x2)=1，但极限limf(x)不存在。10.写出下述命题的“否定命题”的分析表述：(1)（x)是无穷小量；(2)（x,)是正无穷大量；(3）f(x)在x。的右极限是A;(4）f(x）在x。的左极限是正无穷大量；(5）当x→-，f(x)的极限是A;(6）当x→+00，f(x）是负无穷大量。解（1）36>0,VN,3n>N:|≥80。(2)3G>0,VN,3n>N:x,≤G。(3) 380 >0,V8 >0,xE(x0,Xo +8):f(x)-A|≥80 0(4) 3G>0, V8>0,3x(xo -,xo):f(x)≤Go o(5) 380 >0,VX >0,3xe(-00,-X):f(x)- A|≥80 。(6) 3G。 >0,VX >0,3xE(X,+): f(x)≥-Go 。11.证明limf(x)=+的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于xo的数列(x,)(x,>xo)，成立lim f(x,)=+00 。证必要性：由lim(x)=+，可知G>0，8>0，Vx(0<-x)：f(x)>G。因为数列(x,(x>x)收敛于x，对于上述>0，FN，Vn>N：0<x-xo<。于是当n>N时，成立f(x)>G，即lim f(x,)=+o0。充分性：用反证法。设limf(x)=+不成立，则3G>0，V8>0，3x(0<x-xo <): (x)≤Go。取8,=1n=1,2,3,...n对于,=1,3x(0<x-xo<1):f(x)≤Go;39

(2) 设 = A，问是否成立 = A？ 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) 证 （1）设 = A，则 0 lim x→ ( ) 3 f x ∀ε > 0 ， ∃δ '> 0 ， ∀x(0 < x < δ ') （即 3 3 0 < x < δ ' ），有 f (x ) − A < ε 3 。取δ = δ ' 3 > 0 ，则当 0 < x < δ 时，有 3 1 0 < x < δ '，从而 f (x) − A < ε ，这就说明了 = A 。 0 lim x→ f (x) （2）当 = A 时，不一定成立 = A。例如： ， 则 ，但极限 不存在。 0 lim x→ ( ) 2 f x 0 lim x→ f (x) ⎩ ⎨ ⎧ < > = 0 0 1 0 ( ) x x f x 0 lim x→ ( ) 1 2 f x = 0 lim x→ f (x) 10. 写出下述命题的“否定命题”的分析表述： (1) { xn }是无穷小量； (2) { xn }是正无穷大量； (3) f (x) 在 x0 的右极限是 A； (4) f (x) 在 x0 的左极限是正无穷大量； (5) 当 x → − ∞ , f x( ) 的极限是 A； (6) 当 x→ + ∞ ， f x( ) 是负无穷大量。 解（1） 0 0 ∃ε > 0,∀ ,∃ > : ≥ ε n N n N x 。 （2）∃G0 > 0,∀N,∃n > N : xn ≤ G0。 （3） 0 0 0 0 ∃ε > 0,∀δ > 0,∃x∈(x , x +δ ): f (x) − A ≥ ε 。 （4） 0 0 0 0 ∃G > 0,∀δ > 0,∃x∈(x −δ , x ): f (x) ≤ G 。 （5） 0 0 ∃ε > 0,∀X > 0,∃x∈(−∞,−X ): f (x) − A ≥ ε 。 （6） 0 0 ∃G > 0,∀X > 0,∃x∈(X ,+∞): f (x) ≥ −G 。 11. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意从右方收敛于 的数列{ } ，成立 limx x → +0 f x( ) + ∞ x0 xn ( ) 0 x x n > limn→∞ f xn ( ) =+ ∞。 证 必要性：由 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ ，可知∀G > 0，∃δ > 0， (0 ) ∀x < x − x0 < δ ： f (x) > G 。因为数列{ xn } (xn > x0 ) 收敛于 x0 ，对于上述δ > 0 ， ， ： ∃N ∀n > N 0 < xn − x0 < δ 。于是当 时，成立 ， 即 = 。 n > N f (xn ) > G limn→∞ f xn ( ) + ∞ 充分性：用反证法。设 lim = x x → +0 f x( ) + ∞ 不成立，则∃G0 > 0，∀δ > 0， (0 ) ∃x < x − x0 < δ ： f (x) ≤ G0。取 n n 1 δ = ，n = 1,2,3,"： 对于 1 δ 1 = ， (0 1) ∃x1 < x1 − x0 < ： 1 0 f (x ) ≤ G ； 39

对于8,3x2(0<X2-X0):f(x2)≤Go21.1对于8=定，x(O<Xk-Xo<):f(xk)≤Go;A于是得到数列(x,(xn>xo)收敛于xo，但相应的函数值数列(f(xn)不可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以limf(x)=+o成立。12.证明lim(x)=-co的充分必要条件是：对于任意正无穷大量(x,),成立lim f(x,)=-00 。证必要性：由lim(x)==，可知VG>0，X>0，Vx>X：f(x)<-G。因为数列(x是正无穷大量，对于上述X>0，EN，Vn>N：x>X。于是当n>N时，成立f(x,)<-G，即limf(x,）=-0。充分性：用反证法。设limf(x)=-0不成立，则3G>0，VX>0，3x>X：f(x)≥-Go。取X,=n，n=1,2,3,..:对于X,=1,3x,>1:f(x)≥-Go;对于X,=2，3x2>2：f(x2)≥-Go;.,对于X=k，3x>k：f(x)≥-Go;于是得到数列x为正无穷大量，但相应的函数值数列（f(x）)不可能是负无穷大量，由此产生矛盾，所以limf(x)=-o成立。13.证明limf(x)存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷大量(x)，相应的函数值数列(f(x))收敛。证必要性：设limf(x)=A，则V>0，X>0，Vx>X：1(x)-AK。因为数列x是正无穷大量，对于上述X>0，EN，Vn>N：x>X。于是当n>N时，成立If(x）-Ak8，即limf(x）=A。充分性：因为对于任意正无穷大量，x，相应的函数值数列(f(x）)收敛，我们可以断言（f(x，）)收敛于同一个极限。如果存在正无穷大量(x,)与(x",，使得limf(x,）=A，limf(x",）=B，且A+B，则取x2n-1=x,，x2n=x,，（x)仍然是正无穷大量，但相应的函数值数列(f(x,))不收敛。设(f(x))都收敛于同一个极限A，现用反证法证明limf(x)=A。40

对于 2 1 δ 2 = ， ) 2 1 (0 ∃x2 < x2 − x0 < ： 2 0 f (x ) ≤ G ； ", 对于 k k 1 δ = ， ) 1 (0 0 k x x x ∃ k < k − < ： 0 f (xk ) ≤ G ； ", 于是得到数列{ } 收敛于 ，但相应的函数值数列{ }不 可能是无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn ( ) 0 x x n > x0 ( ) n f x limx x → +0 f x( ) + ∞ 成立。 12. 证明 = 的充分必要条件是：对于任意正无穷大量{ }, 成立 x→+∞ lim f x( ) − ∞ xn limn→∞ f xn ( ) =− ∞。 证 必要性：由 = x→+∞ lim f (x) − ∞，可知∀G > 0，∃X > 0，∀x > X ： 。 因为数列{ }是正无穷大量，对于上述 ， f (x) < −G xn X > 0 ∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N f (xn ) < −G ，即lim = n→∞ f xn ( ) − ∞。 充分性：用反证法。设 = x→+∞ lim f (x) − ∞不成立，则∃G0 > 0，∀X > 0， ： 。取 ， ： ∃x > X 0 f (x) ≥ −G Xn = n n = 1,2,3," 对于 X1 = 1， 1 ∃x1 > ： 1 0 f (x ) ≥ −G ； 对于 X2 = 2，∃x2 > 2： 2 0 f (x ) ≥ −G ； ", 对于 Xk = k ，∃xk > k ： 0 f (xk ) ≥ −G ； ", 于是得到数列{ }为正无穷大量，但相应的函数值数列{ 不可能 是负无穷大量，由此产生矛盾，所以 = xn f (xn )} x→+∞ lim f (x) − ∞成立。 13. 证明 存在而且有限的充分必要条件是：对于任意正无穷 大量{ }，相应的函数值数列{ }收敛。 limx→+∞ f x( ) xn f xn ( ) 证 必要性：设 lim ，则 x→+∞ f (x) = A ∀ε > 0，∃X > 0，∀x > X ：| f (x) − A |< ε 。 因为数列{ xn }是正无穷大量，对于上述 X > 0，∃N ，∀n > N ： 。 于是当 时，成立 xn > X n > N | f (x ) − A |< ε n ，即n→∞ lim f (xn ) = A。 充分性：因为对于任意正无穷大量{ xn }，相应的函数值数列 { }收敛，我们可以断言{ }收敛于同一个极限。如果存在正 无穷大量{ }与{ }，使得 f xn ( ) f xn ( ) n x' n x" f x n A n = →∞ lim ( ' ) ， f x n B n = →∞ lim ( " ) ，且 A ≠ B ， 则取 ， ，{ }仍然是正无穷大量，但相应的函数值 数列{ }不收敛。 n n x x' 2 −1 = n n x x" 2 = xn f xn ( ) 设{ f x( n ) }都收敛于同一个极限 A，现用反证法证明 lim 。 x→+∞ f (x) = A 40