华东理工大学：《线性代数》课程教学资源（学习指导）第二章 行列式

D.= 证按第1行展开得 D.=(-1) 继续按第1行展开，并一次类推得 D。=(人12，(-1)m-2…(-1)2n=(-l）2+m2,2…元n =%…元.=←…2 注此题也可按“逆序”定义，不同行不同列元素乘积可能非零的项只有一项，即 n=24…流，=e学…元 x2x10 附在m: 中，求x和r的系数。 112 解有行列式的定义可知，仅当a1,an,a,a4,相乘时，才会出现x,其逆序数为 t自，2,3,4)=0，故系数为（←1°=1，仅当a2,a21,a,a这4个元素相乘时才会出现x3项， 这是，逆序数为x(2,1,3,4)=1,故x3的系数为(-1.2=-2。 例4试证如果n阶行列式D中等于零的元素个数超过n2-n,则行列式为零。 证因为n阶行列式中共有n2个元素，而已知超过n2-n个元素为零。则非零元素个数最 多n-1个，故由行列式的定义可知，不同行不同列的个元素相乘必为零，所以行列式为 2)直接用行列式的性质计算行列式。 204 例5己知204,527,255都是17的倍数，试证527必也是17的倍数。 255 证将第1列的100倍，第2列的10倍都加到第3列，第3列提出17可得 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn

n n n n Dn l l l l l l L N 1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) - = = - 证 按第 1 行展开得 n n Dn l l l N 2 1 1 ( 1) + = - 继续按第 1 行展开，并一次类推得 ( ) n n n n n n n n n n Dn l l l l l l l l l l l l L L L L L L 1 2 2 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 1 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) - + + + + + - + + + + = - = - = - - - = - 注 此题也可按“逆序”定义，不同行不同列元素乘积可能非零的项只有一项，即 n n n n n n Dn l l l l l l t L L 2 1 2 L ( 1) 1 2 ( , 1, ,1) ( 1) ( 1) - - = - = - 例3 在函数 x x x x x f x 1 1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 0 ( ) = 中，求 4 3 x 和x 的系数。 解 有行列式的定义可知，仅当 11 22 33 44 a , a , a , a ，相乘时，才会出现 4 x ，其逆序数为 t (1,2,3,4) = 0，故系数为( 1) 1 0 - = ，仅当 12 21 33 44 a , a , a , a 这 4 个元素相乘时才会出现 3 x 项， 这是，逆序数为t (2,1,3,4) = 1，故 3 x 的系数为( 1) 2 2 1 - × = - 。 例 4 试证如果 n 阶行列式 D 中等于零的元素个数超过 n - n 2 ，则行列式为零。 证 因为 n 阶行列式中共有 2 n 个元素，而已知超过n - n 2 个元素为零。则非零元素个数最 多 n -1个，故由行列式的定义可知，不同行不同列的 n 个元素相乘必为零，所以行列式为 零。 2）直接用行列式的性质计算行列式。 例 5 已知 204，527，255 都是 17 的倍数，试证 2 5 5 5 2 7 2 0 4 必也是 17 的倍数。 证 将第 1 列的 100 倍，第 2 列的 10 倍都加到第 3 列，第 3 列提出 17 可得 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn

204202042012 527=52527=175231 2552525对2515 由定义知，元素全是整数的行列式，必是整数，故证得原行列式得17的倍数。 例6试证奇数阶反对称阵的行列式为零。 证设A为2n-1阶反对称阵，则A=-A,两边取行列式，得4=卜，即 A=(←12-A=-4,知4=0. b+c a 1 例7计算c+ab1的值 a+b c 1 解第2列加到第1列后，第1列提出a+b+c,得 b+c a l a+b+c a 1 1a1 c+a b 1=a+b+c b 1=(a+b+c b 1=0 atb c latb+cc l 1 c 1 b+c c+a atb a b c 例8试i证b+C1c1+a,a,+b,=2a1b,c 证先用行列式得加法性质拆第1列，再用初等变换化简符 b c+a a+b cc+aa+b b ci+aa+b cc+aa+b b292+a2a2+b2g2c2+a2a2+b2 b c+a ac aa+b =b ci+a an+c aa+b b2 c2+az azc2 az az+ba b c a c a =b c a+c a,b a b c a b az b:c2 az b2 c: a b c =2a b ci az b2 c: 所以左边=右边 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn

2 5 15 5 2 31 2 0 12 17 2 5 255 5 2 527 2 0 204 2 5 5 5 2 7 2 0 4 = = 由定义知，元素全是整数的行列式，必是整数，故证得原行列式得 17 的倍数。 例 6 试证奇数阶反对称阵的行列式为零。 证 设 A 为 2n -1阶反对称阵，则 A A T = - ，两边取行列式，得 A A T = - ，即 A ( ) A A n = - = - 2 -1 1 ，知 A ＝0。 例 7 计算 1 1 1 a b c c a b b c a + + + 的值。 解 第 2 列加到第 1 列后，第 1 列提出 a + b + c ，得 ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + + + + + = + + + c b a a b c a b c c a b c b a b c a a b c c a b b c a 例 8 试证 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b = + + + + + + + + + 证 先用行列式得加法性质拆第 1 列，再用初等变换化简得 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c c a b c a b c a b b c a b c a b c a c a a b c a a b c a a b b c a a b c a a b c a a c c a a b c c a a b c c a a b b c a a b b c a a b b c a a b = = + = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + 所以左边＝右边 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn

例9n阶行列式D中每一个元素a,分别用数b(亿≠0)去乘得到另一个行列式D,试证 D,=D. 证首先将n阶行列式得每行分别提出b,b2,…,b”,在由每列分别提出b,b2,…,b"可 aub!-ab-2…ab- D.= …a2nb2 lamb"a26-2 …amb- ab'baeb'b-2…a.b'b- =,626ab6 …4nb2b a b"b-1 ab"b-2 …ab"b- … aib-a =662…bnb1ab …anb anb1anb2…anb aa2…an am a2…anm aa…a =D a1am2…am 例10计算n阶行列式 a+ba1+b2…a1+b. D.=Bt64+6…4+6 aw+ban+b…an+bn 解当n=1时，D,=a,+b, 当m=2时，D=a+6a,+6)-(a+么，Xa,+b) =(a,-a2)-b2) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn

例 9 n 阶行列式 D 中每一个元素aij 分别用数 ( ¹ 0) - b b i j 去乘得到另一个行列式 D1，试证 D1 = D 。 证 首先将 n 阶行列式得每行分别提出 n b ,b , ,b 1 2 L ，在由每列分别提出 n b b b - - - , , , 1 2 L 可 得 ( ) ( )( ) D a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b D n n nn n n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n = = = = = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - L M M M L L L M M M L L L L L M M M L L L L M M M L L L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 21 1 1 1 2 12 1 1 11 2 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 21 1 1 1 2 12 1 1 11 1 例 10 计算 n 阶行列式 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b D + + + + + + + + + = L M M L M L L 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 解 当 n＝1 时， 1 1 1 D = a + b ， 当 n＝2 时， ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a b b D a b a b a b a b = - - = + + - + + PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn

当n≥3时，将第1行乘(-1)加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 a1+ba1+b2…a1+b。 a3-aa-a…a2-a D.=a3-a1a-a…a3-a =0 an-a1an-a…an-a1 综上所述 [a,+b n=1 Dn={(a,-a26-b2)n=2 n≥3 12345 55533 例11已知4=B2542,求 22211 46523 (1)A1+2A2+3A:+4A4+5As (2)A1+A2+A及A4+A5。 解由行列式得性质可知 12345 55533 (1)41+242+3A+4A4+5A6=32542=0: 22211 12345 12345 55533 (2)5A1+5A2+5A+3A4+3As-55533=0 22211 46523 12345 55533 241+2A2+2A+A4+4s=22211=0 2221 46523 解出A1+A2+A=0,A4+A5=0。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn

当 n ³ 3 时，将第 1 行乘(-1) 加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 0 1 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 = - - - - - - - - - + + + = a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b D n n n n n L M M L M L L L 综上所述 ( )( ) ï î ï í ì ³ - - = + = = 0 3 2 1 1 2 1 2 1 1 n a a b b n a b n Dn 例 11 已知 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 3 2 5 4 2 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 A = ，求 （1） 51 52 53 54 55 A + 2A + 3A + 4A + 5A ； （2） A31 + A32 + A33及 A34 + A35 。 解 由行列式得性质可知 （1） 0 1 2 3 4 5 2 2 2 1 1 3 2 5 4 2 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 2 3 4 5 A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = = ； （2） 0 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 5 5 5 3 3 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 5 5 5 3 3 A31 + A32 + A33 + A34 + A35 = = 0 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 2 2 2 A31 + A32 + A33 + A34 + A35 = = 解出 A31 + A32 + A33＝0， A34 + A35 ＝0。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn

3)利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算 例2计算四阶行列式 0023 121-1 D,=3122 4512 121- 121- D.5iz 、002 3 02 3122 -5-15 4512 -3-36 121 -1 121 0-3-3 6 =-3011-2 0-5-15 0-5-15 002 3 0023 121- 121-1 5⑤-3011-2 004-5 43011-2 0023 0023 004-5 121-1 52011-2 0023 3-112(-11)=-66 000-11 例13计算n阶行列式 xa·a aa ax 解解法一将其余行加到第1行，提出x+(-1)a后，化简得 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn

3）利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算 例 12 计算四阶行列式 4 5 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 0 0 2 3 4 - D = 解 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 2 ( 11) 66 0 0 0 11 0 0 2 3 0 1 1 2 1 2 1 1 3 2 0 0 4 5 0 0 2 3 0 1 1 2 1 2 1 1 3 0 0 2 3 0 0 4 5 0 1 1 2 1 2 1 1 3 5 0 0 2 3 0 5 1 5 0 1 1 2 1 2 1 1 3 0 0 2 3 0 5 1 5 0 3 3 6 1 2 1 1 0 3 3 6 0 5 1 5 0 0 2 3 1 2 1 1 4 3 4 5 1 2 3 1 2 2 0 0 2 3 1 2 1 1 34 23 34 24 14 13 12 4 = × × × × - = - - - - ¾¾¾¾® - - - - ¾¾® - - - ¾¾¾®- - - - - = - - - - - - ¾¾® - - - - - ¾¾¾¾®- - - - ¾¾®- r r r r r r r D 例 13 计算 n 阶行列式 a a a x a x a x a a Dn M L L M L L = 解 解法一 将其余行加到第 1 行，提出 x + (n -1)a 后，化简得 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn