20量子电动力学数，但是它分别在时刻一和t处以时间对称的方式出现利↓V(a)消失，（参见图1.5）。时间反演算符T将态+)(x，t)变换成该PIXA系统的另一个可能态（因为时间反演不变）。与态山（+相比，该-toto?态具有相反的动量和相反的角动量。在遥远的未来，它收敛于中-(x，一t)，而与中+(x，t)不同，后者来自于遥远过去态。图1.5一个不随时间变化的势（x，t)，故我们称这种态为时间反演态中-)（x，t）。由（1.54）式，我们可以写出Tg+(x,t) =中-(-(x, -t) .(1.56)正如我们已从（1.54)中所获知的，时间反演算符了反转了时间演化方向（t→一t）。对于一个在时间反演下不变并其有厄密Hamilton量的系统，从<1.41)有(-α| S / -β)= lim (-(-(x,t)/p-n(x,t)) lim (g-(-)(x, -t)9-8(x, -t)=lim(T&+(x,t)/T(x,t)),由（1.54)和（1.56),并利用T=UK，得<-al / -B)lim(URy(+)(r,t)|OKpg(x,))=lim<Ky(+(x,t)iKpg(x,t))-lim<dg(x,t)l(+(x,t))=<β) S [a).(1.57)方程(1.57)表明，从初态|α>到末态Iβ>的散射幅S在数值上等同于从态|一β>（具有与|β>态的反向动量）到态」一α>（具有与|α>态反向动量）间的散射幅。当然，这仅对时间反演不变系统才成立，因为仅在这时态T才为系统的可能态。令人感兴趣的关系式《1.57)被称之为倒易定理。我们甚至还可以证明，这对复势V(x，t)也成立①。1.8动量表象中的Green函数和它的性质到现在为止，我们已强调了Green函数在物理上的应用。现在，我们要逐步发展实际计算的数学工具。首先是Green函数的微分方程。我们从定义关系式(1.7)式开始讨论：O(t"-)(x) -i [drG+ (2+)(),(1.58)这儿=（，α)为四维位置矢缩写，(一t)为(1.6)式中引入的阶跃函数。为进一步分析，有必要了解下面阶跃函数的积分表示①参见L.Schiff：QuantumMechanics，第3版（McGraw-Hill，NewYork，1968），第20章
21第一章传播子与散射理论y.1e@(t) =delim(1.59)w+it2元ir我们将在练习1.4中给予证明，习练1.4阶跃函数的积分表示问题：证明12@(t):lim(1)da2元i t-w+ie是Ileavisile的阶跃函数的积分表示解答：我们把对的积分视为w复平面上的回路积分（图1.6）。其中有一阶极点w=一ie。对7<0，我们选择上半平面的回路，因为在这种情况下，上半平面无穷大半圆上的贡献为零。=peIImw时被积函数为igt(onsptisjnj)Txinee"lieer<0f(p,g)Peipe'daRewr<0时上半圆周对积分贡献则小于teelrlsmTerpf(p,p) :(0→ ).0p根据Cauchy积分定理，绕上半平面封闭回路的总积分为零、因为极点处于积分边界区域之外。类似地，>0时可借助实轴由图1.6<0和>0时的积分回路下的无限大半圆周构成封闭回路。Cauchy积分定理表明被积函数在极点的留数决定了积分值，顺时针方向积分带有一个负号。所以，我们得到-1)2xi limRes(2)二一@(T0) 2元i虫此，通过微分我们直接得到d@(t)-0"inrdwJim-dnw+iedtdw+i2元i2元-(1.60)dw= ()2元所以对阶跃函数的微商得Dirac函数。借助这一关系，我们能从（t.58)得到推迟Green函数Gt（；）的微分方程以及导出一些具有其他形式性质的表达式。我们知道（）满足Schrodinger方程：
22量子电动力学(-H()(2) 0.(1. 61)所以，我们将算符（it（a/at）一h（a））从左边作用到（1.58)式，得：[i (2)](-)(2)(1.62)- jaa(-H(2)G+(2)(),展开左边，得：())+(-()(r)( -)()=6( -()(1.63)因此，(1.62)式变为 fe[(n-H() (rm) - 8(- x)8(-)]() = 0.由于该方程必须使任意解)均成立，故方括号中的项必须为零，即[() ()=(-),(1.64)式中我们已用4维函数取代了(x—x)8(一t)。这个微分方程与朝前传播的边界条件一同确定了推迟Green函数G+(z，r)：G+(r',r)-0 for t'<t.(1.65)显然Green函数正是来自类点时空源发出的发散波，其点源的强度为h(1-)=h(x-)o(-1).方程(1.64)很清楚地说明了如何利用Green函数技巧去求解非齐次线性微分方程。给定含源项p(）的Schrodinger方程：i-H()(r) = p(r),(1.66)我们立即能写下一个解[d'a'G+(r,2')p(r) for t≥t.()=邮()+(1.67)这儿邮（)是齐次微分方程的解。现再让我们计算一下自由粒子的传播子，不过这次是借助于微分方程（1.64）及边界条件（1.65）。对非相对论的自由粒子，Hamilton量为：E"H.(r)=(1.68)此外，我们注意到G寸（，)将仅依赖于坐标差，—=(x，)一(r,)。这是因为在t时刻从处波源发，在t时刻到达x处的波仅依赖于距离ix一r，一t?。然而，Green函数正是这种波。因此，我们可写成：
第章传播子与散射理论23t(;)=Gt(r-).(1.69)数学上，Hamilron算符H。是空间和时间坐标的齐次形式，自由传播子能很容易地被重写成与(1.64)式相类似的含有相对坐标=一=(x-x，t一t)的另一微分方程式，因此，人们很重视自由传播子的这“事实。为了求自由粒F方程（1.64)的解，我们考虑Fourier表示Gf (r’ -r) ={ d'pdEexpJ (2tyexp[p. (r" -r)- E(t -) Gg (p;E).X expl(1.70)并用（1.68)及(1.64)来确定G寸（p，E)的Fourier变换关系(i+G(2-2)a+2m[[E -2%) (p,E)exp[- E(c -~ exp[p (" - -)（2元方）2mfd'dE三 exp[-(-)]exp[ ( -)] (1.71)01-P最后一项是(1.64)式右边，即a(一)在能动量表象中的表示。显然，在Fourier表示中，我们能立即得到微分方程（1.64）的解。对E≠p/2m，可得到力Gt(p;E) =(1.72)E-P2mIImE这个表式仍不完全，因为在E=p/2m处奇点的处理还是不确定的。这可利用推迟条件（1.65)来解决这个问题。如同练习1.4中那样，我们从阶跃函数的Fourier表示入手，在（1.72）式分母上ReE加上一个无穷小的、正的虚部is，并首先对（1.70）式的E积分。XP-ie如图1.7所示，奇点位于实E轴下方、我们得到2mGt(rt -x) =hf dpex] (2h)exP[p· (-)图1.7G+(P;E)的奇点位置和沿E轴的积分回路T exp[- E( -t)](1.73)X2元斤E-p2/2m+ie作替代E=E一p/2m，上述积分变为(E"+p"/2m)(t-t)[dErexp2元hE'+ieLE'-dErexp- exp[-P(2元斤E'+ieh2m
24量子电动力学-ex[-[o(]?(t-nje(-).exph2m在最后两步中，我们利用了（1.59)和阶跃函数性质，即对正的α，@(αr）=@(r）。现在（1.73)变为dpP(t-[P (' -x) - :Gt(α -)=-ilo(t-t)(2nh)sexp)2m=--io(t - t) [d'p,(r',r');(x,t).(1.74)这里，我们已将自由Hamilton量的本征函数，即平面波写为：1P,P·E-9(,)二2n（2元斤）3exp[i(k - x - ar)],hw = p"/2m,h k = p.(1.75)(2x）方程(1.74)与例1.3(9)和(15)的结果等同。对(1.74)式的下一步积分如上述那样进行。由这个例子可知，将Green函数表达成相应Schrodinger方程本征函数的完备集之和是非常有用的。对这组函数邮（工，t），其完备性写为：Z0(x.t)g:(r,t) = (x - x).(1.76)注意出现在(xt)和邮（x，t)中的时间t相同。现在，容易证明，在边界条件（1.65)下，（1.64)的解为G+(r)=-io(t-t)(α)(α),(1.77)因为[in-H()G+ (;)=h8(t-)E(a(,t)[晶-i(t -t)3H(r)u(r)g(r)-=0=8(-2)(x-x)=h(α-r).(1.78)下一步，我们指出另一个重要的关系：相同的Green函数G*（r；r）既能描述Schrodinger方程解（x，)的朝前演化，又能描述复共轭解（x，t)的朝后传播。从（1.77)式，一方面我们得到[axG+ (r;)()=8(" -)(r) [((2)Bun(1.79a)= (t -tp(r')