第一章传播子与散射理论25另一方面，我们得到dG()=@-)[dam(a")p:(t')p(r)(1.79b)Ba-0(t-t)0:(α).如上所述，(1.79a）表示波函数（z)的朝前传播，而（1.79b)为相应的邮（）朝后传播。后一个结论也可通过对（1.9)求复共轭并利用练习1.2获得。相反地，从（1.9)和(1.79b)出发，我们容易证明，在练习1.2中所列出的G+和G-之间的关系。1.9对相互作用粒子Green函数的其他考虑这儿，我们要从稍不同的观点重新考虑Green函数G（r，）（参见（1.28))的迭代方法。现在讨论的出发点是（G（z）的微分方程（1.64),用H=H。十V，该方程可写为[(μ)o()h()+(2)(1.80)就像（1.66）式中那样，右边能被理解为非齐次SchrodingeI方程的源项。(i()() 2) ,(1.81)利用自由的Green函数Go，（1.81)的解由下式给出）主[d'rGt(r';r)p(r).(1.82)用G+（ra)取代(），可立即导出下列相互作用Green函数的积分方程G+ (r'p2)=[d'rGt()(8(-) +V()G+ ()-Gt('sa)+ [a'Gt(x'V()G+ (aa).(1.83)像（1.21)式-一样，这里我们再作替代V(z）/→V（z），方程（1.83）与早期结果（1.30)等同。将（1.82)式送代，便得到Green函数的多重散射展开式（1.28）。这可用来构造S矩阵(1.37)。Sn= lim limidrd'r(r)G+ (r',r)o(r).(1.84)利用自由粒子方程（1.79a，b），daGt(,)p(a) =-ig(m) for ti ≥t,(1.85a)r(G()=-()for>(1.85b)工和能被积掉，(1.84)式变为[da()V()()Sh-on-
26量子电动力学drid'x20(2)V(r,)Gt(ar2)V(z)p(r2)ifdaad'xd'rspy(ai)V(x)Gt(a)V(a)Gt(rgixs)V(x)s.(xs)+(1.86)这是按多重散射过程对S矩阵的展开，表示不存在散射。V出现一次的第二项表示单散射，下面的项表示双重散射，等等。练寸1.5扩散Green函数典型的扩散现象，例如热传导，或两个相互渗透的流体，是仅由密度梯度决定的。例如，密度为o(a.t)的流体倾向从密度高的点流向密度低的点。因此，流J被假设成正比于密度梯度J=-DVp,(1)式中常数D称为扩散常数。若我们将(1)式与连续性方程(2)az相联系，我们得到扩散方程0=Dp.(3)at在热传导情况下，p为单位体积内的“热函”，它正比于温度：p=CT。常数C称为材料的比热容。为进一步讨论，我们注意到变换t--it就把扩散方程（3)转为Schrodinger微分方程型。现在，我们构造无限三维区域内扩散Green函数G+（x，t；xt）的明显表达式，我们再次从定义微分方程开始 a-- 4n( - )8(± - ),(4)at式中常数α2=1/D。右边因子4元(不是(1.64)中的)是一种约定，它仅是使Green函数改变一个因子4k/。因为Green函数仅依赖于时间t一t和空间差x一x，我们引入下列缩写t=t-t,(5)R=x-x作为Green函数假设，我们写下Fourier变换erVG(r',t,r,t)=(6)d3pe"g(p,t),(2元）式中函数g(p，r)仍是未知的。我们将（6)式代人定义方程式（4)式，且再次利用下面函数的Fouriel表示
27第一章传播子与散射理论d'peipR(7)"(R) =(2元）3(4)式左边变为"G-a1fd'perR-g-a(8)2（2元）3这导出g的关于时间的微分方程% + pg = 4元8(t) ,(9)ar该微分方程有下列特解-pg(t)(10)g=q2e我们将解（10)式代入（9)式并利用阶跃函数②和8-函数之间的关系do(r)=8(r)(11)dr就证明了（10）式为（9）式的解9(t) +4e-( d24元draz+24元e-t0 8(t) = 4x8(z),(12)n综合上述结果，我们得到元(e() Japexp(ip R)expl)(13)G(x,t';x,t) =或用Cartesian坐标明显表示为4元[ dpe'-e-("9(t)G(x',t'ir,t)(2元)3aEdpyegy-"e-.dp.eane-(14)X我们考虑第一个积分中指数iaR'R?oipiR.41142T2a'R?-9(15)4f02其中ia'R.(16)E=pr2借助这一变换，（14)式中第一个积分能被重写成
28量子电动力学a'R?a'RTEds expdp,expexp44r(17)园Q'R=exp47在推导（17)式结果时，我们已利用了下列基本Gauss积分公式2.4Vdr exp(-pr) -(18)力完成（14)式的三个积分后，便得到扩散Green函数a'RG(r,t':r,t)-2元2112aR'le(t).(19)exp4%273/2元变换-it和tit就将（19)式的Green函数转换成Schrodingei方程的自由Green函数。这正是根据两个微分方程间的关系所期望的。扩散Green函数是在R一0处为极大值的Gauss型，分布宽度随着增大而增加。量√4t/a是这个宽度的量度。在？0处，宽度仍为0。在热传导情形，这意味着所有的热都集中于一点，只要大于零，则R>0时，温度增加；而在R=0处温度连续降低。最后（在-α0时），热均匀分布在整个空间。例子1.6作为电动力学中Huygens原理的一个例子的Kirchhoff积分我们从检查经典电动力学中波动方程的解和相应Green函数的推导出发。势的定义方程是由Maxweli非齐次方程而来：aV+1V.A(1)4元，at2和1A·A+1=4四V'A-(2)c3 at2ca!这里@代表标量势，A为矢量势，P为给定的电荷分布，J为电流密度。在Lorentz规范（V·A4+(1/c)(2Φ/ar)=0)中，这些微分方程变成非耦合的。1a0@-4元p，(3)ar19A--4元172Am(4)2a
29第一章、传播子与散射理论另一方面，在Coulomb规范下（V·A=0)，我们得到4元(5)其解为p(x,t)d(x.t) :(6)一xx和12Aa二4四1 + V'A-(7)atatcC所有波动方程（3），（4)和（7)具有形式1a(8)72-4元f(x.t)a/式中，f(x，t)是给定源分布。为求解（8),引入下式定义的波动方程的Green函数G是有用的。11 -↓%)G(x) -- 48(x - r)8(-1) .(9)2a2Grccn函数仅依赖于坐标差（x一x）和时间差（t一t）。在下列计算中，我们利用函数的Fourier表示dhdaein(10)8(x-x)8(t-t)=(2元）4首先，作为对G的一个假设，我们引进Fourier变换[dk [dw g(k,w)e(--)g--)G(x,tix,t') =(11)式中g(k，)仍是未知的。我们将(11)代入定义方程(9)便得-i(r-(] fa jdag(ke(12)duei.r-r)-iat-)4元13(2元)1微分算符的作用得"iet--rIg(k,w)eik-x-r)eId*k [dal k?-[d% [da e-u-rigr](13)4元3从而，确定g(k,w)为11g(k,w) =(14)4元/cie我们能将Green函数表示成1-i-1.-天[d'kdw(15)G(x,t;r',t') --4元—/c2-利用Cauchy定理，做完积分便得结果