《电动力学》课程教学资源（书籍教材）量子电动力学PDF电子版（北京大学出版社，马伯强等译）

第一章传播子与散射理论15例子1.3自由Green函数及其性质我们能给出自由Green函数（即V0的情况）的显式。正如上面那样，我们把自由Green函数表示为Ge（x，t；x，t)，并注意到根据定义关系（1.2)式，任意波包（X，)按照相应的势为零的量子力学运动规律在时空中变化，(1)i d'rG,(r,t'ix,t)p(r,t).(x,t) =i最初，我们要导出在任个时间无关势V(a)情况下Green函数G(x，t"；xt)的一般表达式。让我们考虑下面稳定Schrodinger方程本征解的正交归一完备集（Ug（x"））"+V()Ue(r)-EUe().(2)2m如果势V(r）与时间无关，并假定我们已知下列在某一时刻：的时间有关的Schrodinger方程的解- (-" +V() (,).(3)at2m那么，我们也就能写山任意时刻的解（x，">的形式表达式。为此，我们利用封闭关系把时刻的（r，t)按能量本征函数基Ue（x）进行展开(4a)Ar(t)Ur(x').d(x,t) =(4b)Hr'U(x)p(x,t).Ar(t')当然，展开系数Ac（t)是与时间相关的。若我们将展开式（4)代入式（3)并考虑到式（2），我们求得%Ar()=iZug(r)Ag(r)EUe(x'),1因为波函数Us(x）的正交归一性，+Aa(C) -EA(c).试这方程解为(5)As(t') = A(t)expL- iE(t -t)/h]众所周知，态Ue(x)作为（x，t")的一部分，发现其几率P(E)=Az(t)"悬与时间无关的。因此，若x，t"）在时刻=已知，则根据（4b)我们便可定出混合系数。而它的时间依赖性可由（5）式给出。这样就得知在任意时刻7的（x，），我们得到SA(t)Ue(x)(x',t')-

16量于电动力学EAs(t)exp[-iE(t-t)/hJUe(x')EUe(x)Ug(x'))exp[-iE(t-t)/nJb(x,t).(6)比较（6）与(）式，便叫得到Green丽数的本征模式展开G(x,t;r.t) =-iU(x)Ue(r')exp[- iE(t -t)/h] .(7)根据态U的完备关系，t=t时右边变成一i（r一x）。注意，我们导出的是完全Green函数G而不是G，因为如果任何一个与时间无关势V<x)存在时上述表达式总是成立的。作为特例V-0.若我们代入自由定态解（即U：的平面波解）我们便获得自由Green数Go。利用非相对论平面波U（x），即波矢k=p/h和E=p/2m的平面波Ue(x) =(8)(2xh)3zexp(ik x).便可导出(2m) jexp[ik (1 -x)exp[ - e( -) dpGo(x',t';x,t)-(2) Jexp([p(2 -2)+ p(y -) + p(2 -)((t-t)dpedp,dpr(9)充2m式中，我们已经采纳了d"p积分的Cartesian表示。进一步计算还需要基本的Gauss积分公式元" dr exp(- iar:) = /i(10)首先我们考虑对力，的积分并将指数配成完全平方i[--p(xx)2m[V=_ V2m(t-)i m(r-r)真t2(tV2mt)2V-1fim(r-a)?it-t+(11)丙2mh2(t-t)式中m(r -z)=p-?(12)t-t利用a一（t一t）/2m我，我们得到第个积分t([(2 -r)-dprexplt)[i m("--)"] adexn[-—“二]= exp["2( -)]

第·章传播子与散射理论17[im(r-r)/2rmh=exp[“2(-t Ni( -t)(13)最后，三次利用积分公式(10)后，得-i_[.2元mh73/8p[ilz-z12m]G(r',t"+x,t)--exp(2xh)li(-t)]L4(-)Fimr-m(14)expL2h (-)]2元it (t-t)这是一个不受限制的、自由Green函数G，它既描述向未来传播，又描述反向过去传播。从式（i1)，容易导出推迟Green函数和超前Green函数Gt(x',t;r,t)=+Ga(x,t;x,t)@(t-t)(15)3/2m[im]x' - x]29(t - t)."expL2h (e-)2元i（t-)」和G(x',t'+x,t)=-G(r,tx,t)o(t-t)(16)3/2m[imx--x]+1@(t-t)iL2in (-] exp[(-]由（15）与（16）式直接得到关系式Gi(r,t;x,t) =G'(x,t;r',t)(17)顺便指出，练习1.2关于完全Green函数的结果可直接从展开式（7)得到。在例1.5中我们将着手了解扩散Green函数，并注意若作→一itt-→一t替代，这一函数等价于上述量子粒子自由运动的Green函数（14）。这一结果似乎是合理的，因为扩散方程与Schrodinger方程相类似。1.6S矩阵的幺正性只要Hamilton算符是厄密的，S矩阵的幺正性是一个重要性质。为证明这一点，我们必须证明$s+=l=s+$,(1.45)式中S（S)表示完全的S矩阵。我们可以采用上面讨论的S矩阵的矩阵元S=S[i)的任何形式。特别地，我们可以（1.41)式作为证明的基础，（1.41)式是借助超前Green函数G-建立起来的，但我们将利用（1.37)式（那里出现了推迟Green函数G")。插入1=Y)(>l，则33+的任意矩阵元为(pisl)=pi+a)

18量子电动力学s)(1s)limlim>d°rd'r'p(x,t')G+ (x',t;r,t)g(x,t)aex"da.(x",t')G+*(x",ttx"t)si (x,t) .这里在S和S+的矩阵元中分别采用相同的时间变盘和：是极有利的。正如前面所指出的，在极限→+0→一下，S矩阵元不依赖于这些时间，因为它假定势衰减得足够快。由于形成了一个态的完备集Z(x,t)d(x,t) =(x-x"),(1.46)(1.45)式变换成<pIS+la)=lim limd'ad'r'd'r"X$g*(x",t")G+ (r",t',x,t)G- (x,tix",t')g.(x",t).(1. 47)这里我们已利用了（1.42），因为[drG+ (x,t';,t)G(xt",)=8(x"-x")（见练习1.1），这导致[ar'd3"(xt'"(r-a")p(x"t)(pl S st la)= lim - lim dr'g'(x',t')g(x't) 8ga.(1.48)类似地可以证明S+S=1这就是S矩阵的么正性①1.7S矩阵的对称性质S矩阵具有反映相应Hamilton算符对称性质的对称性。本节我们参考了W.Greiner.B.Muller著《量子力学对称性》（第二版）(Springer，Berlin，Heidelberg1994）中的详细讨论。我们认识到对称操作能由作用在Hilbert空间态上的么正算符U来表示。令U为一个这样的算符，它将①S矩阵么正性的这种证明侬依赖于势V(r)在无限远过去加入而在无限远未来切断的假设。如果V()完全不随时间改变，则情况将变得更复杂，在此情况下，我们必须处理波包，势的加进或切断是由下述事实引起的；当势处在无限远过去和无限远未来时，波包是在势的影响范围之外。因为Hamilton量可能其有束续态，更进一步的复杂性将会产生。在此情况下，我们可以证明波包和这些束缚态正交且波包的巢合并不封闭。虽然如此，我们仍能证明对于实势S矩阵的幺正性，因为由于能量守桓不能处于束缚态（因而称这些束缚态为“闭道”）。在散射形式理论的教科书中讨论这些问题，见M.L.Goldberger和K.M.WatsonScarteringTheoryofWavesandParticles(MeGraw-Hili,New York 1966)

19第章传播子与散射理论粒子的一个态邮（xt）变换成另一个态g (x,t)0g(x,t)(1.49)这样因为0与。对易，也必须是描述系统中粒子的一个可能的自由运动态。另外，如果也与H对易，则+是通过U变换成+，(1.50)4e(+)(x,t) = 0 $(+)(x,t),式中+也是包含相互作用V(，t)的系统的可能态，这可利用(1.49)直接从选代方程(1.31)得到，（十）号表示朝向未来的态。现在我们得到了这种变换态间S矩阵元，根据（1.37)得()=((+)=(00+)=(0g100(+))=<9gl4(+l)=<plSla)(1. 51)这些矩阵元中隐含着极限→co。此方程意味着诸如由球对称势引起的任意一对态，间的散射幅数值上与“转动”态一U和邮，=间的散射幅相等。不言而，这两个态必须转过相同的量。若我们在（1.51）式左边直接插人转动的态，我们得到(d)(l>=>=),(1.52)即(1.53)0$0=s或[0,310必须成立。所以，我们获得重要论述：如果对称变换算符与对易，则0也与S算符对易。对于时问反演的反幺正算符T，情况更为复杂。时间反演算符T能被表示为T=U。其中U是一个正算符，K表示复共轭。T将一个自由态Φ(x，t)变换成另一个具有反向动量及反向角动量的态。时间反演态可用符号中一来表示。然而，必须注意到这样一个事实，算符T也改变了时间方向，取代(1.49)式的变换为(1.54)Tg(r,t) = p-,(x, - t).例如，若g(x,t) = Nexpi(kg·x-Wgt))为零自旋粒子平面波，则根据（1.54)式，态-α(x，t）为g--(x,t) = N'exp[i(-kg -x - wgt)] .注意中-e(x，t)子T（x，t)，而Φ-a(x，t)=Tg(x，一t)。这可从（1.54)直接得到。现在让我们考虑和Harmilton算符对易的时间反演算符，即(1.55)[T,H]= 0.此时我们称它为时间反演不变系统。一个简单的例子：有一个势V（x），它是不随时间变化的常@见W.Greiner，B.Muller：QuantumMechanics-Symnetries第三修正版（Springer，Berlin，Heidelberg1994)，第11章，以及Theoretical Physics，卷3WGreinerRelativisticQuantumMechanics-WaveEqua-tions（(Springer，Berlin，Heidlberg 1990）第12章