10量子电动力学这儿，我们已用到缩写d'x=d'rdtd'rdzo(1.29)在（1.28)中，含相互作用的Green函数G被展开成多重散射事件的级数形式，其中单散射事件间传播是由自由Green函数G来确定的。我们将假定这一多重散射级数是收敛的，同时也略去来自可能的势V中的束缚态所引起的复杂性。相互作用Green函数有可能被表示成封闭形式。这可通过对级数(1.28)式作形式求和而获得。G+ (a'a)=Gt(r;r) +JdrGt(r';)V(r)G+(rr),(1.30)这是一个关于G+的积分方程，它通常被称之为Lippmann-Schwinger方程。显而易见，多重散射级数(1.28)可由(1.30)积分方程作送代获得。类似地，对关于波函数（）的级数（1.25)作求和便得：y(r)= limi jd'aG+(r';a)p(r)- limid[Gt(r)+[d'Gt(r",V()G+ (z))(r)=(c") + lim fd'xGt(z,)V(z)i fd'rG+ (a)g(z)=(r") +[d'r(Gt(2",xi)V(r)(r).(1.31)收射液这是一个关于中）的积分方程。我们会意识到，到日前为止，我们还没有解决什么问题，因为我们必须要对一个仍未知的波函数少积分。在某种意义上，积分方程式（1.30，1.31)比原始的微分方程(1.3)更有用。它允许我们在弱微扰（那就是一个小扰动势V)情况下作系统的近似，而且，我们可以很方便地加一些正确的边界条件（参见1.5节中的讨论）。应该注意到不仅Gt《rx)在t<t消失，而且G+(z，r)也消失。这种推迟Green函数的性质表达了贯穿于（1.31）和（1.25)基本过程中的因果性原理。例如，展开式（1.26）表明，仅当这些附加作用在迟后时刻(t<t:st)发生，t时刻与势V的相互作用才能影响附加的散射相互作用。让我们转到散射展开式（1.28）。如果无穷级数（1.28)在有限项之后截断，我们就可以计算G+作为V和Gt的泛函形式。给定G+我们便能立即解出初值问题。如果波函数在某稍早时刻是已知的话，那么根据（1.31)式，我们只要作简单积分便可获得波函数x，"）。1.5散射问题的应用让我们考虑一个散射问题。我们已知入射波包（x，t），它描述一个在无限远过去向散射中心运动的一粒于。我们要构造与势V(x，t)相互作用后产生的波，它出现在无穷远未来。我们把散射问题理想化为在初始时刻无相互作用，即
第章传播子与散射理论11V(x）0当t从而初态波Φ是满足一定初始条件的自由粒子Schrodinger方程的解。精确的波(x，t)在t→-8o极限下接近于入射波（(xt)lim (r,t) =$(x,t).(1.32)根据（1.25，1.31)在无穷远未来精确的波1由下式给出+'(x,t')= limi d'rG+ (r,tx,t)p(x,t)= (")+d'rG(r'+)V()+()(1.33)散射边方程中州+（x）是自由（1.32）初态波包产生的精确波。$的上标（+）表示我们所处理的波是传向未来的。止如所指出的，（1.33)中的第二项代表着散射波。它包括所有单重和多重散射。现在，我们假定势V（x，t）在某~-确定时刻后消失，即limV(x,t) = 0.(1.34)若相互作用势具有短程性，这一条件将被满足。例如，考两粒子间的相互散射，当它们相接近时，相互作用从零开始增加，随着它们的分离，相互作用逐渐减为零（图1.4）。若这条件不满足，我们可以采用绝热截断方案。这意味着强行使势渐近消失，例如，通过作替换图1.4粒子的散射：当它们接近时相互V(x,t) -+e-ativ(x+t).作用增加，当它们分离时相互作用减弱截断参数入必须选得足够小，以确保截断不引起伪瞬激发态。现在，我们可以考虑在无穷远未来，即极限t→αo时的精确波+（x，t）。所有关于散射波的信息都概括在几率幅中。几率幅的平方代表一个粒子从一个给定的、自由的初态将被散射到极限t→十时的各种终态的几率。由于在→一和1→+时，势被假定是消失的，我们就可以考虑更为平面波。1(1.35)(t)一exp[i(k,·x-wt')].V（2元斤）3平面波（1.35）取了连续归一化（或？函数归一化）。或者，我们可以采用箱归一化，粒子被限在一①文中所定义的绝热近似是假设Schrodinger方程的解能近似成一个臀时Hamilton量的定态本征解，从而在时刻封的某一本征函数连续转变成在滞后一个时刻相应的本征函数。如果我们能解任意时刻的方程：H(t)d(t)=E,()g.(c)那么我们希望有这样-个的体系：只要H(）随时间缓慢变化，假设该体系在时刻t=0具有能量E%（0)的不连续的非简并态4(t).它在时刻将变成能量E.（t)的()态。然而，这意味誉不论有没有H(t)都不能引起到其他态（t）（m）的激发！绝热近似的可靠性能很容易受到检验：如果一个系统的典型的激发能量是AE~E一E那么，其相应的时间标度量级为A左/△E。作用时间必须大到可与相当！
12基子电动力学个体积为V的箱内。从而动量变量为不连续的，这时我们必须作替代1(1.36)/VV(2)3取代Dirac函数（kyk）的是Kronecker符号[lkr=kioloky+ki.几率幅是Heisenberg散射短阵元或S矩阵元①S,= lim<(x",t)lg(+(x,t)) lim da"p (x,)+(x,t")= lim lim i [dr'dr [by(x,t')G+ (x',t;r,t)p(rt)= lim jdr'(r,)[(x,t)+ (d'rGt(x',t;x,)V(x,t)g(+(x,t)=0(k, -k,)+ lim[d'r'd')(r,t")G (x,t;x,t)V(x,t)gs4(x,). (1. 37)好+）为波动方程的解（1.33)，它是在-→一0时从产生的平面波演变而来，并在散射过程中携带动基。极限→士总意味着t→大的有限的时间1此刻，粒子停止作用，例如，典型的时间有粒子碰撞时间、产生时间或探测时间。最终，若我们从送代方程（1.33）中插入些+），我们得到用多重散射过程表示的S矩阵的展开形式，即Sg=(ky -k,) + lim d'r'd'r)(xst)Gt(r,t;x,t)V(xt)g(x,t)+ limJa'a'd'rd'ap(x",t")XGt(x,t+xt)V(xt)Gt(x/tx,t)V(x,t)g(x,t)+:(1.38)第一项（函数)不描述散射，但表征着没有散射的粒子通量。第二项代表着单散射，第三项为双重散射，等等。这些对S矩阵的贡献在图1.3中表示，它们的相于叠加便得到总的S矩阵元。若我们用超前Green函数G和G-（参见(1.8)和（1.9)）,采用与上述完全类似的步骤，我们能获得S矩阵的另一种表达式。例如，态r(x,t)对应着波函数好-(x,t)，在相互作用势V(xt)消失后，它会在无穷远未来（t→o)变为Φ(x，t)①W,Heisenberg:Zeitschrift f.Naturforschung 1,608(1946)，也可参见 C.Moller:Kgl.Danske Vi-denskab Selskab,Mat.-Fys.Medd.23.1(1948)和 J.A.Wheeler:Phys.Rev.52.1107 (1937)
13第一章传插子与散射理论limy)-"(x,t) = (x,t).(1.39)从（1.9)式出发，我们能准确地表达这边界条件（现在带撤的（x，）和不带的（x，t)相交换）y(x,t) = lim -d'rG-(x,tx,t')px",t')(1.40)我们希望跃迁i→f的S矩阵元即S#能用在无穷远过去（lim）某时刻计算的-（r，t）和(tt)的标积给出，Sh=lim(g-(x.)lg(x,t))drd'r'G-'(rt;x,t)sj(r,t)p(x,t).= lim limi(1.41)借助下式可立即证明它与先前定义的S矩阵的等价性(1.42)Gt (x,ttx,t)=G-"(x,t;x,t)（参见练习1.2)，从而(1.41)变为drd'rG(x,t;r,t)d(r,t')e(x,t)Sr= lim limi(1.43)= lim<9(r,t)t'(r',t)).这与（1.37)第一行一致。这里势为实的是至关重要的，它将在练习1.2的推导中用到。（1.41)与(1.37)在复势V的情况下不相等，这在物理上是不难理解的，因为吸收势（存在V(x，t)的负虚部)会导致在一定态中发现粒子的儿率降低。这就意味着→时的|+（x，t）通常比t→一00时的（x)？要小，这儿是产生+的态。另一方面，→一00时，1（x)2通常比→时的|（x，）”要大。这儿$是t→时-（x，)转变成的态。由此，我们预料，对吸收势(1.41)比<1.37)大。最后我们要指出S矩阵可用以下对称方式表示，而不是用（1.37)式或（1.43)式(1.44)Sn- (gf-(x.t)ig+(x,t)).S，代表满足入射边界条件的解虾+）和满足出射边界条件的解归）间的重叠。结果与计算重叠的时刻+无关。练习1.2G+和G-间的关系问题a）试证关系式G+ (x',t;x,t)=G-"(x,tix,t'),b）证明(1.44)式成立。解答：a）我们从G+的积分方程（1.30)出发，与由Schrodinger方程出发进行推导完全类似（参见（1.10一19)），考虑（1.8)和(1.9)的定义，可得与（1.30)相对应的G的积分方程
基子电动力学14G- (r',t;xt) =Gr(x,t';x+t) +[daG(r;rV(I)G-(r),r) .(1)与(1.30)式对照，显然Green函数G+和Gt已被G-和G所取代，在例1.3中我们将证明自由Green函数的关系式成立。(2)Gi(x,t+x,t) = G'(x,tir',t')如果，我们送代积分方程（1)，即G- (r,r) =G() + [drG(;)V(G(r)[d'ida2G(;V(aG(r2)V(rG() + ...(3)显然对（3)取复共轭就导出下式成立：G(r,)=Gt(+) + [dGt()V()Gt(r)+d'd'Gt(')V(aGt(2)V(aGt()+--=Gt()+[dGt()V()Gt()ddGt(;)V(2)Gt(2;V(Gt(a)+(4)G+(rir)这儿，我们假定势V为实的：V（α）=V（α）。这就证明了假设的正确性。b)F要求的S矩阵元的表达式可用超前和推迟传播子表示为Sh=[drlimijdrG-*(x,tix",t")p(x,t)X[limi [d'r"G+ (x,t;r",t")p(r",t")](5)利用(4)和练习1.1(a),我们可求解对dr的空间积分[d'rG-'(x,t:r,t)G+ (x,t+",r")[dG+ (r,t,t)G+ (+,t:x"st")(6)- iG+ (x',t';x",t").从而（5)变为Sn= lim lim i/ fd'r'd'r"$ (x',tG+ (x',t';r",t")o(r",t").(7)E这与(1.37)式的第三行一致