第一章传播子与散射理论5若>t，则在任意时刻：可以选定x，t)，从而我们也能插入一个中间过程：(r,t)=i [d,G+ (r,t;,t)p(r)id'aG+ (x,t'x,idzG+ (rit,t)g(r,t)i jd'ri [d'rG+ (',t'+m1t)G+ (x1t+x,t)p(t,t).(2)比较(1)和(2)式，(a)成立。b）（b)的证明可用类似的方法进行：(x',t) =-i [daG" (x,t;x,)d(x,t).(3)若<t，我们再插入一个中间过程(x,t')--i [d'rG- (r,t;xt)g(x.t)-i [dr)G- (r,t';x)(-i) [d'rG- (x,tx,t)g(x,t)=-i d(- i) dric- (r,tixit)G" (,tix,t)g(x,t).(4)若<t<t，比较(3)和(4)(b)成立e）类似地可证明(c)与（d)也成立。首先，我们对t>t写出p(x,t)= i [d'aG+ (r,t;xi)p(xj1)-i [daG+ (x,t;tt)(i) [dxG- (itr,t)p(xr,t)(5)-aa[d'xG+ (x',t;G- (xtix,t)p(x,t).对一个不变时刻t，借助函数(x，t)能被表达为：(x,1) = [dr8(x-)(x,t).(6)比较关系式(5)和（6)即得（c)。d）对t<t，我们可完全照抄(c)的证明：(,t)=-idiG-(r,txi)p(t)(7)[ar [d'r)G-(',tipt)G+ (mt+x,t)g(x,t).比较(7)和积分示（6)即得(d)。1.4±的一个积分方程现在，我们的目的是给出Green函数形式的定义。为此，我们仍从物理上用直观的方法来理
6量子电动力学解传播子方法。因为自由粒子运动是完全已知的，所以自由Green函数G（x，t：x，t)能明显地被构造出来（参见1.3例）。然而，若我们加进势V(x，t)，则G被修改为G(r，t;xt)，同时问题就变成怎样从自由Green函数Ga（xt：x，t)计算出Green函数G(x，t;r，t)（包括相互作用）。为回答这一问题，我们假定在t时的相互作用势V(x，t)作用一小段时间间隔A1，在该小段时间间隔内的势为V(xi,ti)。在时刻ti之前，波函数是自由粒子函数，即对t<t,粒子按照自由传播子Ga传播。在t=ti时，V(xiti)发生作用，并产生散射波，这能从Schrodinger方程计算出。[in- ()-V()g(t),(1.10)at.正如已经指出的，V(x1,ti)仅在时间间隔△t内作用。我们用自由波表示生成的波：(1.11)(xt) =g(x,t) +Ay(xt),式中为自由Schrodinger方程的解。(u量 - (4) 0.(1.12)而散射波Ag(xt)在t<t时为零。将(1.11)代入(1.10)并考虑(1.12),我们发现：- H d(x1) = V()(d(x) + A(t).(1.13)略去上式右端的小项VA(in-H g(x)=V(it)d(t),(1.14)at这个微分方程能在时间间隔t到t十△t内积分。考虑到△(xi,t)=0,我们得到：,+de(HA(r,t)+V(t)(x))(1, 15)it A(xi,t + M) =上式右边第项是关于小量A和△的二阶小量。所以，在一级近似下，散射波可写成V(x,t)(xi,t)t)A(ritti + At) =(1.16)A因为势V(x1,t)被假设为在时间间隔△t后消失，散射波在此之后也按自由传播子G。传播。我们得到在稍后时间t>Ap(x2)=i jd,Ge(r,t;i,t)Ap(xt) v(xj ti)(xti)At1.[ar-Ge(x,t)方(1.17)这儿，我们已用取代了t十△，这在无穷小时间间隔内是正确的。注意到（xit）是在势V(xt)散射之前到达时空点(xti)的波。然后，势V(riti)在短时间间隔△t内作用，它将人射波修改成1/V(x1t>(x,ti)△t,同时这个"被扰动"的波自由地传播。这能用从(x1,t)到(x,t)的传播子G(x，tx,t)描述。从一个无穷远处的任意波包在时间间隔△内由V(xt)势散射一次而形成的总波（x，t)由下式给出
第一章传播子与教射理论7p(x,t')= p(r',t') +Ag(r',t)=(r",t) +[dzGo(r,t;xint)-V(x1,t)p(1+)t)=i faex(Go(r',';xt)[d'r,AtGo(r,t'sxit)V(x,t,)Ge(xp,ti+r,t))(r,t),(1.18)将此式与(1.2)或(1.1)比较，我们能将括号内的表达式定义成传播子G(x,t;x，t)：G(x',t';x,t)=Go(x',r';t,t)fd'A,G(r'tX)IV(xtGo(Xtx,t).(1.19)现在我们已达到从自由传播子G。计算传播子G的目的，至少对于在这种短时间间隔△t内才起作用的相互作用势V(x1，t)的简单情况。（1.19)式中各项能用图1.3的时空图表示。（1.19）式的第-项相应于波包从时空点（x，t）到（x，t）的自由传播，这可用图1.3a来表示。(1.19)式第二项表示从时空点（rt)到(xit)的自由传播：在(x1,t))处，粒子在时间间隔△t内经受势V(x1t)的散射。此后，它又自由传播到时空点（x，t）。这个过程可用图1.3b来表示。(a',t)t+ (b)ti (a)(n,t')/Go(a',t;a,t)V(21,t)(a1,t)(a,t)(z,t)EE(a',t)t+ (d)r(',t')ti (c)(22,t2W2,t2)21,t)(a,t)(z,t)2元图1.3(a)～（d）图示说明散射过程。（a）一个粒子从时空点（x，t）到（x，t)的自由传播。（b）粒子从（x,t)经过点（xi,t）次散射到(rt）。（c）现在位于点（xztt)并与图(b)作相同的散射。最后(d)表示粒于在点(ti)和(x2t)的双重散射。若我们在时刻tz>t时加进第二个势V($2t2)作用一段，时间间隔为△t，那么，又会产生另一个散射波，它对总波《x，t）在时刻t>t时的贡献Ay(x，t），可立即根据1.17式表示成下式
量子电动力学()=[daG(2')V()p(22)t2i[drd( iV(2)XG(r)+ [drAG(a)V()G(t(1.20)(r）从（1.18)式，我们已代入了到达时空点（t）的散射波2)。此外，我们已引入明显缩写记号(x,t)= x,IV(c,t) = V(an).(1.21)注意，我们已经将1/因子吸收到势中去。因为根据（1.16）式知，它们总是~-道出现。（1.20）式中与G(；r)V(aa)G（z；r)()成正比的第一项代表着在时空点2处的单散射。它可用图1.3c来描述。（1.20)式的第二项正比于G(";r)V()Ga(2r)V()Go()p().它表示在时空点和z处在势上的双重散射，该过程由图1.3d来表示。至此，在经过自由传播和单双散射后达到时空点（x，t)的总波就成为（1.18)式分波（这个波来自于自由传播和在（x1,t)处的单散射）和（1.20)式分波（这个波来自在（x2,tz)的单散射及(x1,t)和(x2+t2)的双散射）之和。这样导得(r)(r)+dG(r)()(1)[dtG()()(2)+[d'aAtd'rAtGa";)V(aG(t)V((a).(1.22)若我们在n个时刻t<tt<<t加进势V作用，时间间隔分别为△tAt，那么显然地，(1.22)必被推广为() =() + 2d;AtG(r;r,)V(z)(x.)+[dr,tdr,N,Go(r;r,)V(r)G(;,)V(x,)(c)+[ar,Ad'rAtd'G(t;,V(a)1..,>1>X G(,,)V(r,)G(r,)V()()(1.23)+注意：式(1.22)和(1.33)式中积分是在三维空间上进行的，即dz。求和是对一系列时间值t作的，dt=d。下面，我们取极限→0和noo时，da,就变
第一章传播子与散射理论9成一个四维体积分[dr。若我们将(1.23)中z")和(z)表示成g(r) =idaG(t;)p(),(1.24)(z,) =i fd'Go(a)(2).我们最后得到() = [a(Go(;2)+ jd,G(;2,)V(r,)G(;r)fdAtder,ArG(2 ;z,)V(,)G(xr,)V(r,)G(a,).it.>7[dAtd'Atd'tG(rV()+X G(re)V(r,)G(+V(G,() +")d*xG(a")p(x).(1.25)比较(1.25)式与(1.2)或(1.4)式，便可得山包括相互作用的Green函数G(a，a)的完整表达式。按照自由Green函数G（tz）作展开，完全Green函数为G(r;) =Gg(t;)+ Edr,Go(r;r)V(r)G(Tr)+ [dAdr,Ar,G(2';r)V()Go(ir,)V(2,G(a,z)it>t7[dArdAtdtGo(,V(a)+(1.26)XG(T)V()G()V(AG(TA)+.我们已注意到上式的严格时序。然而，如果我们引入下列推迟的Green函数Gl（2，）（参见（1.5）)就可避免作多重求和的限制t<t,10Gt(r',t':r,t)IGo(x,t'sx,t)t>t,(1.27)10t<t,G(xr',t';x,t):IG(x,t;x,t)t>t.而且，在取连续极限△t;-0时，(1.25和（1.26)式对时间间隔求和可用对时间积分[dt来取代。这将导出下面推迟的相互作用Green函数的级数展开式G+ (I;) =Gt (2;x) + dz,Gt(rt)V()Gt(22)ddGt()V()G()V()G()+(1.28)