概率的性质: 1)P()=0 证明:设A2=⑧,n=1,2,…,,则 P(UA)=P()+P()+,=P( n=1 P(∞)≥0 P(C)=0
证明:设 A n n = ∅, , = 12,L，，则 An n = ∅ = ∞ , 1 U P An P P P n ( ) ( ) ( ) ( ), = ∞ = ∅ + ∅ + = ∅ 1 U L Q P( ) ∅ ≥ 0 ∴ P(∅) = 0 概率的性质： 1) P( ) ∅ = 0
2)A1,A2…An是两两互不相容的事件,则有 (A1∪A20…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(A1) 证明:设A=,=n+1,n+2,…,则 ∪A,=(4)②U…U必U…=∪ n P(∪A1)=P(U P(A1)+P(A2)+…+P(An)+P() P(A1)+P(A2)+…+P(An) P(A1UA2∪.…UAn)=P(A1)+P(A2)+…+P(A
2) A A 1 2 An , ,L 是两两互不相容的事件，则有 P A( ) A An n P A( ) P A( ) P A( ) 1 2 U ULU = + 1 2 +L+ 证明:设 A i n n i = ∅, , = + 1 2 + ,L，则 U U U U L U U L U ∞ = = = = ∅ ∅ = 1 1 1 ( ) , n n i n i An Ai Ai P An i P A n i n ( ) = ( ) = ∞ =1 1 U U = P A( )1 2 + P A( )+L L + P A( n ) + P(∅)+ = P A + P A + + P An ( ) ( ) ( ) 1 2 L ∴ P A( ) A An n P A( ) P A( ) P A( ) 1 2 U ULU = 1 + 2 +L+
3)设AcB,则P(B-A=P(B)-P(A且 P(B)≥P(A)。 证明:18=(B-A且B-A=(B(A 由性质2) P(B)=P(AKB-4)=P(A+P(B-A) P(B-A)=P(B)-P(A) P(B-A)≥0 P(B)-P(A)≥0 即P(B)≥P(A) B-A 推论:P(B-A)=P(B)-P(AB) B-AB 证明:∵B-A=B-AB AB cB P(B-A=P B-AB)=P(B-P(AB)
3)设A⊂ B，则P(B− A) = P(B)−P(A)且 P(B) ≥ P(A)。 证明:Q U B A = − ( ) B A ,且A(B− A) =∅ 由性质 2）： P B( ) = P(AU(B− A)) = P(A)+ P B( − A) ∴ P B( ) − A = P ( B ) − P ( A ) Q P ( ) B − A ≥ 0 ∴ P ( ) B − P ( A ) ≥ 0 即 P( ) B ≥ P(A) B A B-A 推论： P(B − A) = P(B) − P(AB) =B -AB 证明: QB−A= B−AB AB ⊂ B ∴P(B−A) = P(B−AB) = P(B)−P(AB) A
4)P(A)≤1 证明:AcΩ,P(g)=1 ∴P(A)≤P(!)=1 5)P(A)=1-P(A) 证明::儿UA=9,AA= P(!)=P(A+A)=P(A)+P(4)=1 P(A)=1-P(A)
5) P A( ) = −1 P A( ) A A 证明：Q UA A = = Ω, AA ∅ ∴ = P P ( ) Ω ( A + A) = P( A) + P( A) = 1 ∴ = P A( ) 1−P A( ) 4) P A( ) ≤1 证明： Q A ⊂ Ω, ∴ P A( ) ≤ P(Ω) = 1 P( ) Ω = 1
6)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 证明:P(A∪B) P(A∪(B-AB B-AB P(A)+P(B-AB) P(A)+P(B)-P(AB)
A B-BAB 6) P( ) AUB = P(A P )+ (B P )− (AB) 证明：P A( ) UB = P(AU(B− AB)) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A)+P(B− AB)