5.6 正定二次型
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·正定二次型的定义 ·正定二次型的判定条件
• 正定二次型的定义 • 正定二次型的判定条件
一、正定二次型的定义 定义5.6.1设f=xTAx(AT=A)为实二次型，如果 对任意n维列向量x≠0，都有 xTAx 0, 则称f=xTAx为正定二次型，并称实对称矩阵A称 为正定矩阵 如果对任意n维列向量x≠0，都有 xTAx≥0， 则称f=xTAx为半正定二次型，并称实对称矩阵A 称为半正定矩阵
定义5.6.1 设𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙(𝐴 𝑇 = 𝐴)为实二次型，如果 对任意𝑛维列向量𝒙 ≠ 0,都有 𝒙 𝑇𝐴𝒙 > 0， 则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为正定二次型，并称实对称矩阵 𝐴 称 为正定矩阵. 如果对任意𝑛维列向量𝒙 ≠ 0,都有 𝒙 𝑇𝐴𝒙 ≥ 0， 则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为半正定二次型，并称实对称矩阵 𝐴 称为半正定矩阵. 一、正定二次型的定义
一、正定二次型的定义 定义设f=xTAx(AT=A)为实二次型，如果对任 意非零列向量x,都有xTAx<0,则称f=xTAx为负 定二次型，并称矩阵A为负定矩阵， 如果对任意非零列向量x,都有x'Ax≤0，则称 f=xTAx为半负定二次型，并称矩阵A为半负定矩阵； 如果对任意的非零列向量x,f=xAx的值时正 时负，则称f=xTAx为不定二次型
定义 设𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙 (𝐴 𝑇 = 𝐴)为实二次型，如果对任 意非零列向量𝒙，都有𝒙 𝑇𝐴𝒙 < 0，则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为负 定二次型，并称矩阵 𝐴为负定矩阵. 如果对任意非零列向量𝒙，都有𝒙 𝑇𝐴𝒙 ≤ 0，则称 𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为半负定二次型，并称矩阵 𝐴 为半负定矩阵； 如果对任意的非零列向量𝒙， 𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙的值时正 时负，则称𝑓 = 𝒙 𝑇𝐴𝒙为不定二次型. 一、正定二次型的定义
二、正定二次型的判定 引理1实二次型 f(x1,x2.,xn)=d1x子+d2x3+.+dnx2 正定的充分必要条件是d:>0,i=1,2,.,n. 引理2非退化实线性替换保持二次型正定性不变， 即设f(x1,x2,.,xn)经过非退化线性替换X=CY化 为gy1,y2,.,yn),则f(x1,x2,.,xn)正定的充分 必要条件是g(y1,y2,.,ymn)正定
引理1 实二次型 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 = 𝑑1𝑥1 2 + 𝑑2𝑥2 2 + ⋯ + 𝑑𝑛𝑥𝑛 2 正定的充分必要条件是 𝑑𝑖 > 0 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛 . 引理2 非退化实线性替换保持二次型正定性不变. 即设𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 经过非退化线性替换𝑋 = 𝐶𝑌化 为𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 , 则𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛 正定的充分 必要条件是𝑔 𝑦1 , 𝑦2 , ⋯ , 𝑦𝑛 正定. 二、正定二次型的判定